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Bibliographic Metadata

Title
Infinite-dimensional supermanifolds, lie supergroups and the supergroup of superdiffeomorphisms / von Jakob Schütt ; [Betreuer: Prof. Dr. Helge Glöckner (Universität Paderborn), Prof. Dr. Joachim Hilgert (Universität Paderborn), Prof. Dr. Wolfgang Bertram (Université de Lorraine)]
AuthorSchütt, Jakob
ParticipantsGlöckner, Helge ; Hilgert, Joachim ; Bertram, Wolfgang
PublishedPaderborn, 2019
Edition
Elektronische Ressource
Description1 Online-Ressource (vi, 194 Seiten)
Institutional NoteUniversität Paderborn, Dissertation, 2018
Annotation
Tag der Verteidigung: 13.12.2018
Defended on2018-12-13
LanguageEnglish
Document TypesDissertation (PhD)
URNurn:nbn:de:hbz:466:2-33269 
DOI10.17619/UNIPB/1-568 
Files
Infinite-dimensional supermanifolds, lie supergroups and the supergroup of superdiffeomorphisms [1.35 mb]
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Abstract (German)

In dieser Arbeit stellen wir eine zugängliche Einführung in die Theorie lokalkonvexer Supermannigfaltigkeiten im Rahmen des kategoriellen Ansatzes vor. Hierbei wird ein besonderer Schwerpunkt auf Lie-Supergruppen und die Supergruppe der Superdiffeomorphismen gelegt. In diesem Zugang ist eine Supermannigfaltigkeit ein Funktor von der Kategorie der Grassmann-Algebren in die Kategorie der lokalkonvexen Mannigfaltigkeiten, der bestimmte lokale Modelle besitzt, die etwas wie einen Atlas bilden. Wir zeigen, dass die Werte dieser Funktoren die Struktur sogenannter multilinearer Bündel haben. Wir nutzen dies aus um einen treuen Funktor von der Kategorie der Supermannigfaltigkeiten in die Kategorie der Mannigfaltigkeiten zu konstruieren. Dieser Funktor erhält Produkte, vertauscht mit dem jeweiligen Tangentialfunktor und erhält die jeweilige Hausdorff Eigenschaft. Auf diese Weise können wir Supermannigfaltigkeiten als eine besondere Art von unendlich-dimensionalen Faserbündeln auffassen. Mittels ähnlicher Techniken erhalten wir einige nützliche Trivialisierungen von Lie-Supergruppen, sowie eine kanonische Zerlegung in einen rein geraden und einen rein ungeraden Teil. Dies erlaubt uns die klassische Äquivalenz zwischen Lie-Supergruppen und Super-Harish-Chandra-Paaren auf den Fall lokalkonvexer Lie-Supergruppen zu verallgemeinern. Die Supergruppe der Superdiffeomorphismen einer Supermannigfaltigkeit M ist ein Set-wertiger Funktor SDiff(M), der gewisse Aspekte gerader und ungerader Transformationen von M beschreibt. Wir zeigen, dass SDiff(M) sich im Wesentlichen genau wie eine Lie-Supergruppe zerlegen lässt. Falls M eine Banach-Supermannigfaltigkeit mit sigma-kompakter, endlich-dimensionaler Basis ist, gelingt es uns der Supergruppe der kompakt getragenen Superdiffeomorphismen die Struktur einer Lie-Supergruppe zu geben.

Abstract (English)

In this thesis, we provide an accessible introduction to the theory of locally convex supermanifolds in the categorical approach with a focus on Lie supergroups and the supergroup of superdiffeomorphisms. In this setting, a supermanifold is a functor from the category of Grassmann algebras to the category of locally convex manifolds that has certain local models, forming something akin to an atlas. We show that the values that these functors take have the structure of a so called multilinear bundle. We use this fact to construct a faithful functor from the category of supermanifolds to the category of manifolds. This functor respects products, commutes with the respective tangent functor and retains the respective Hausdorff property. In this way, supermanifolds can be seen as a particular kind of infinite-dimensional fiber bundles. For Lie supergroups, we use similar techniques to show several useful trivializations and construct a canonical decomposition into purely even and purely odd parts. Using this, we are able to generalize the classical equivalence between Lie supergroups and super Harish-Chandra pairs to the case of arbitrary locally convex Lie supergroups. The supergroup of superdiffeomorphisms of a supermanifold M is a certain set-valued functor SDiff(M) from the category of Grassmann algebras that captures even and odd aspects of supersmooth transformations of M. We show that SDiff(M) has essentially the same decompositions as a Lie supergroup for an arbitrary supermanifold M. If M is a Banach supermanifold with finite-dimensional and sigma-compact base manifold, we are able to turn the supergroup of superdiffeomorphisms with compact support into a Lie supergroup.

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