Deutsch

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit den dicken, sowie mit den exakten abelschen und erweiterungsabgeschlossenen Unterkategorien der Kategorie der Darstellungen eines Köchers.

Zunächst untersuchen wir die Kategorie der lokal nilpotenten Darstellungen über der Wegealgebra eines zyklischen Köchers. Wir zeigen, dass eine dicke Unterkategorie exakt abelsch ist. Hiernach beschreiben wir kombinatorisch die dicken Unterkategorien und wir berechnen ihre Anzahl. Weiterhin zeigen wir Bijektionen zwischen den dicken Unterkategorien mit projektivem Generator, den dicken Unterkategorien ohne projektiven Generator, Trägerkipp- und Kokippmoduln. Dann untersuchen wir die exakten abelschen und erweiterungsabgeschlossenen Unterkategorien für Nakayama Algebren und finden eine rekursive Formel für ihre Anzahl.

Danach zeigen wir, dass dicke Unterkategorien, die von präprojektiven oder preinjektiven Darstellungen eines azyklischen Köchers erzeugt werden, exakt abelsch sind. Wir untersuchen euklidische Köcher im Speziellen und zeigen, dass dicke Unterkategorie exakt abelsch sind. Dann ergänzen wir ein Ergebnis von Ingalls und Thomas zu einer vollständige kombinatorische Klassifikation der dicken Unterkategorien für diesen Fall.

Für eine erbliche Algebra A betrachten wir die gekippte Algebra B = End(T_A), wobei T_A Kippmodul ist. Wir zeigen eine Bijektion zwischen den exakten abelschen erweiterungs- und torsionsabgeschlossenen Unterkategorien von mod(A) und den exakten abelschen erweiterungsabgeschlossenen Unterkategorien von mod(B).

English

The central objects of investigation in this thesis are the thick subcategories as well as the exact abelian extension closed subcategories of the category of representations of a quiver.

First we consider the category of locally nilpotent representations over the path algebra of the cyclic quiver. We show that any thick subcategory is exact abelian. Then we give a combinatorial description of thick subcategories via non-crossing arcs on the circle and using generating functions, we calculate their number. Furthermore, we establish a bijection between thick subcategories with a projective generator, thick subcategories without a projective generator, support-tilting and cotilting modules. Then we study exact abelian extension closed subcategories for Nakayama algebras, and we find a recursive formula for their number.

Next we show that any thick subcategory generated by preprojective or preinjective representations of an acyclic quiver is exact abelian. Then we specialise to Euclidian quiver case and we verify that any thick subcategory is exact abelian. Furthermore, we extend a result of Ingalls and Thomas and we give a complete combinatorial classification of thick subcategories in that case.

For a hereditary algebra A, we consider the tilted algebra B = End_A(T_A), where T_A is a tilting module. We establish a bijection between the exact abelian extension and torsion closed subcategories of mod(A) and the exact abelian extension closed subcategories of mod(B).