English

In this thesis, we develop algorithms for the calculation of Galois groups of Eisenstein polynomials f(x) over a p-adic field. Our main tool is the so-called ramification polygon of f(x). That is the Newton polygon of f(\alpha x + \alpha)/(\alpha^n x), where \alpha denotes a root of f(x) and n the degree of f(x). We present a fast algorithm for polynomials with one-sided ramification polygon and a more expensive method for polynomials with two segments. In the case of an arbitrary Eisenstein polynomial we use the ramification polygon to speed up calculations concerning the splitting field. For example, we provide an algorithm for the determination of the maximal tamely ramified subfield of the splitting field.

Deutsch

In dieser Arbeit werden Algorithmen zur Berechnung von Galoisgruppen von Eisensteinpolynomen f(x) über einem p-adischen Körper entwickelt. Wichtigstes Werkzeug zur Untersuchung der Polynome ist das sogenannte Verzweigungspolygon von f(x). Es ist gleich dem Newton-Polygon von f(\alpha x+\alpha)/(\alpha^n x), wobei \alpha eine Nullstelle und n den Grad von f(x) bezeichnet. Es wird ein schneller Algorithmus für Polynome mit einsegmentigem Verzweigungspolygon und ein aufwändigeres Verfahren für Polynome mit zwei Segmenten vorgestellt. Im Falle eines allgemeinen Eisensteinpolynoms kann das Verzweigungspolygon genutzt werden, um Berechnungen im Zerfällungskörper zu beschleunigen. Es bietet zum Beispiel die Möglichkeit, den maximalen zahm verzweigten Teilkörper des Zerfällungskörpers zu bestimmen.