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Bibliographic Metadata

Title
Symbolic dynamics for the geodesic flow on locally symmetric good orbifolds of rank one / Anke D. Pohl
AuthorPohl, Anke D.
Published2009
Institutional NotePaderborn, Univ., Diss., 2009
LanguageEnglish
Document TypesDissertation (PhD)
URNurn:nbn:de:hbz:466-20090402010 
Files
Symbolic dynamics for the geodesic flow on locally symmetric good orbifolds of rank one [1.85 mb]pohl [17.94 kb]pohl [15.8 kb]
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English

We present a geometric construction of cross sections for the geodesic flow on a huge class of good orbifolds with the hyperbolic plane as covering manifold. Further we realize first steps towards a generalization to other locally symmetric good orbifolds of rank one.

In the first part of this thesis we consider an arbitrary rank one Riemannian symmetric space $D$ of noncompact type and a group $\Gamma$ of isometries of $D$. Under weak requirements on $\Gamma$ we prove the existence of isometric fundamental regions.

In the second part we specialize to orbifolds of the form $\Gamma\backslash H$ where $H$ is the hyperbolic plane and $\Gamma$ is a geometrically finite subgroup of $\PSL(2,\R)$. Further we require that $\infty$ is a cuspidal point of $\Gamma$ and that $\Gamma$ satisfies an additional weak (and easy to check) condition concerning the structure of the set of isometric spheres of $\Gamma$. We construct cross sections for the geodesic flow on $\Gamma\backslash H$ for which the associated discrete dynamical systems are conjugate to discrete dynamical systems on the finite part $\R$ of the geodesic boundary of $H$. The isometric fundamental regions from the first part play a crucial r\^ole in this construction. The boundary discrete dynamical systems are of continued fraction type. In turn, the transfer operators produced from them have a particularly simple structure.

For each of these cross sections there is a natural labeling in terms of certain elements of $\Gamma$. The arising coding sequences of unit tangent vectors belonging to the cross section can be reconstructed from the endpoints of the associated geodesics. In some situations, the arising symbolic dynamics has a generating function for its future part. In this case, the generating function is also of continued fraction type.

Deutsch

Wir stellen eine geometrische Konstruktion von Poincar\'e-Schnitten für den geodätischen Fluss auf einer großen Klasse von guten Orbifolds, deren Überdeckungsmannigfaltigkeit die hyperbolische Ebene ist, vor. Des Weiteren führen wir erste Schritte bzgl. einer Verallgemeinerung dieser Konstruktion auf andere lokalsymmetrische gute Orbifolds vom Rang 1 durch.

Im ersten Teil dieser Dissertation betrachten wir einen beliebigen riemannschen symmetrischen Raum $D$ nichtkompakten Typs vom Rang 1 und eine Gruppe $\Gamma$ von Isometrien auf $D$. Wir beweisen die Existenz isometrischer Fundamentalbereiche für $\Gamma$ in $D$ unter der Voraussetzung, dass $\Gamma$ einige schwache Bedingungen erfüllt.

Im zweiten Teil beschränken wir uns auf die Betrachtung von Orbifolds der Form $\Gamma\backslash H$, wobei $H$ die hyperbolische Ebene und $\Gamma$ eine geometrisch-endliche Untergruppe von $\PSL(2,\R)$ ist. Weiterhin fordern wir, dass $\infty$ ein Spitzenpunkt von $\Gamma$ ist und dass $\Gamma$ eine schwache (und einfach zu überprüfende) Bedingung erfüllt, die die Struktur der Menge der isometrischen Sphären von $\Gamma$ betrifft. Wir konstruieren Poincar\'e-Schnitte für den geodätischen Fluss auf $\Gamma\backslash H$, deren assoziierte diskrete dynamische Systeme zu diskreten dynamischen Systemen auf dem endlichen Anteil $\R$ des geodätischen Randes von $H$ konjugiert sind. Die isometrischen Fundamentalbereiche aus dem ersten Teil haben eine tragende Rolle in dieser Konstruktion. Die diskreten dynamischen Systeme auf dem Rand sind verallgemeinerte Kettenbruchabbildungen. Daher haben die zu ihnen gebildeten Transferoperatoren eine besonders einfache Struktur.

Jeder dieser Poincar\'e-Schnitte läßt eine natürliche Markierung mit Hilfe gewisser Elemente aus $\Gamma$ zu. Die auftretenden Kodierungssequenzen der Einheitstangentialvektoren im Poincar\'e-Schnitt können aus den Endpunkten der zugeordneten Geodäten zurückgewonnen werden. In manchen Situationen besitzt die so konstruierte symbolische Dynamik eine erzeugende Funktion für ihren Zukunftsteil. In diesem Fall ist die erzeugende Funktion ebenfalls eine verallgemeinerte Kettenbruchabbildung.