Die detaillierten FE-Modelle können aufgrund ihrer hohen Anforderungen an die Rechenleistung bei vielen Anwendungen, wie z.B. bei der Regelung oder Online-Überwachung, nicht eingesetzt werden. Daher wird in der vorliegenden Arbeit die systematische Reduktion komplexer Finite Elemente Modelle auf einfache Ersatzmodelle mit weniger Freiheitsgraden beschrieben. Dabei besteht das Ziel darin, die Reduktion so vorzunehmen, dass die zur Eingangs-/Ausgangsbeschreibung erforderlichen Charakteristika des Systems innerhalb eines vorwählbaren Frequenzbereichs mit hinreichender Genauigkeit approximiert werden. Der Fokus dieser Arbeit liegt auf der Modellierung von mechatronischen Systemen, bei denen piezoelektrische Komponenten im Mittelpunkt stehen.Nach einer Einführung werden die Grundlagen des piezoelektrischen Effektes, die mathematische Beschreibung mit den konstitutiven Gleichungen und wichtige 1 Dimensionale Modelle zur Beschreibung des Verhaltens piezoelektrischer Komponente dargestellt. Dazu werden äquivalente elektromechanische Ersatzmodelle sowie die messtechnische Parameteridentifikation beschrieben. Im nächsten Schritt wird FE-Formulierung für piezoelektrische Materialien hergeleitet und kurz die wichtigsten Analysenarten der FEM vorgestellt. Basierend auf der modalen Superpositionsmethode wird eine neue Beschreibungsform des Systemsverhaltens abgeleitet. Darauf aufbauend wird das einfache Ersatzmodell des piezoelektrischen Systems aufgestellt. Außerdem wird die vorgestellte Methodik zur Beschreibung des dynamischen Verhaltens eines piezoelektrischen Ultraschall-Transducers verwendet.

Due to the high computational effort, the detailed FEM models can not directly be applied in many applications, such as controlling or online monitoring. Therefore, in this thesis the systematic reduction of complex FEM models to electromechanical equivalent circuit models is described. The aim of this work is to develop a reduced model that is able to represent the input/output description of the original system within a preselectable frequency range with sufficient accuracy. The modeling of mechatronic systems including piezoelectric components is in the focus of this thesis.In the first part fundamentals of the piezoelectric effect, mathematical description with the constitutive equations and 1-D models for piezoelectric resonators will be given. The equivalent electromechanical circuit models and derivation of the parameters from experimental data will be presented. The FE formulation for the piezoelectric materials and a brief overview of the main types of finite element analysis will be described. Based on the modal superposition method a new form of description of the system behavior will be derived. Furthermore, simple equivalent model of the piezoelectric system will be proposed. Finally, the presented methodology will be applied to the description of dynamic behavior of piezoelectric ultrasonic transducers.