Die Geometrie nach Le Gendre, Simpson, van Swinden, Gregorius a St. Vincentio, und den Alten / ausführlich dargest. von L. W. Gilbert Professor, Observator und Unterbibliothekar auf der Universität zu Halle. Halle : Renger, 1798
Inhalt
- PDF Erster Theil
- PDF Vorderdeckel
- PDF Vorsatz
- PDF Schmutztitel
- PDF Titelblatt
- PDF [V] Vorrede.
- PDF [1] Die Elemente Der Geometrie.
- PDF [1] Erstes Buch. Die Principien.
- PDF 3 I. Erklärungen (Definitionen).
- PDF 32 II. Grundsätze (Axiome).
- PDF 40 [III. Forderungen (Postulate)]
- PDF 43 Die Gerade Linie, Das Dreyeck Und Das Viereck.
- PDF 43 Lehrsatz 1. Alle rechte Winkel sind einander gleich.
- PDF 45 Lehrsatz 2. Jede grade Linie CD, welche mit einer andern AB zusammentrifft, bildet mit dieser Linie zwey Nebenwinkel ACD, BCD, * deren Summe zwey rechten Winkeln gleich ist.
- PDF 46 Lehrsatz 3. Zwey grade Linien, welche zwey Punkte A, F mit einander gemein haben, fallen in ihrer ganzen Ausdehnung zusammen, und bilden nur eine einzige grade Linie.
- PDF 47 Lehrsatz 4. Wenn eine grade Linie CD auf den Durchschnittspunkt zweyer andrer graden Linien AC, CB so aufsteht, dass sie mit ihnen zwey Winkel bildet, deren Summe zwey rechte Winkel beträgt, so liegen AC, CB in einer graden Linie.
- PDF 47 Lehrsatz 5. Wenn zwey grade Linien AB, DE einander schneiden, so sind die Winkel, welche am Durchschnittspunkt einander gegenüberstehen, und die man Scheitelwinkel nennt, einander gleich.
- PDF 49 Lehrsatz 6. Zwey Dreyecke decken sich, wenn ein Winkel die beyden ihn einschliessenden Seiten in beyden Dreyecken gleich sind.
- PDF 50 Lehrsatz 7. Zwey Dreyecke decken sich, wenn eine Seite und die beyden Winkel, welche an ihr liegen, in beyden Dreyecken gleich sind.
- PDF 51 Lehrsatz 8. In einem Dreyecke ist jede Seite kleiner als die Summe der beyden andern Seiten.
- PDF 52 Lehrsatz 9. Nimmt man innerhalb eines Dreyecks ABC irgend einen Punkt O, und zieht von demselben nach den Endpunkten einer der Seiten z.B. der BC, grade Linien OB, OC, so ist die Summe dieser beyden Linien kleiner als die Summe der beyden andern Seiten des Dreyecks, d.h. als AB + AC.
- PDF 52 Lehrsatz 10. Wenn zwey Seiten AB, AC eines Dreyecks ABC zweyen Seiten DE, DF eines andern Dreyecks DEF gleich sind, und der Winkel BAC den die erstern einschliessen, ist größer als der Winkel EDF, den die andern einschliessen, so muss die dritte Seite BC, im ersten Dreyeck, grösser seyn als die dritte Seite EF im andern Dreyeck, [und ist umgekehrt BC>EF, so muss auch der Winkel BAC>EDF seyn.]
- PDF 55 Lehrsatz 11. Zwey Dreyecke die untereinander gleichseitig sind, sind auch untereinander gleichwinklig, * und decken sich.
- PDF 56 Lehrsatz 12. In jedem gleichschenkligen Dreyeck sind die Winkel an der Grundlinie *, welche den gleichen Seiten gegenüberstehn, gleich.
- PDF 58 Lehrsatz 13. Hat umgekehrt ein Dreyeck zwey gleiche Winkel, so sind auch die Seiten welche den gleichen Winkeln gegenüberstehen gleich, und das Dreyeck ist gleichschenklig.
- PDF 58 Lehrsatz 14. Von zwey Seiten eines Dreyecks ist stets die die grössere, welche einem grösseren Winkel gegenübersteht. - Umgekehrt ist von zwey Winkeln eines Dreyecks stets der der grössere, welcher einer grössern Seite gegenüber steht.
- PDF 59 Lehrsatz 15. Von einem Punkte A ausserhalb einer graden Linie DE, lässt sich nach dieser Linie nur eine einzige senkrechte Linie ziehn.
- PDF 60 Lehrsatz 16. Man denke sich von einem Punkte A nach einer graden Linie DE die senkrechte Linie AB, und mehrere schiefaufstehende grade Linien AE, AC, AD etc. gezogen, so ist: 1) die senkrechte AB unter allen diesen Linien die kürzeste. 2) Unter den schiefstehenden Linien sind je zwey, z.B. AC AE, welche auf entgegengesetzten Seiten derselben....
- PDF 65 Lehrsatz 17. Es sey EF eine auf der graden Linie AB, in deren Mitte C, aufstehendes Perpendikel, so ist 1) jeder Punkt in diesem Perpendikel von den beyden Endpunkten der geraden Linie AB gleich weit entfernt; 2) jeder Punkt ausserhalb des Perpendikels hingegen von diesen Endpunkten ungleich weit entfernt.
- PDF 66 [Lehrsatz 18.] Zwey Dreyecke DEF, NBL decken sich, wenn in ihnen zwey Winkel und irgend eine Seite gleich sind.
- PDF 68 Lehrsatz 19. Zwey rechtwinklige Dreyecke decken sich, wenn die Hypotenuse und eine der Katheten in beyden gleich ist.
- PDF 68 [Lehrsatz 20.] Zwey schiefwinklige Dreyecke decken sich, wenn in ihnen zwey Seiten und einer der Winkel, welcher diesen Seiten gegenübersteht, gleich sind, und dabey die zweyten gegenüberstehenden Winkel beyde spitz, oder beyde stumpf sind.
- PDF 70 Lehrsatz 21. Zwey grade Linien AC, BD, welche auf einer dritten AB senkrecht stehn*, sind parallel, d.h. treffen nie zusammen, so weit man sie auch verlängert*.
- PDF 70 Lehrsatz 22. Wenn auf der geraden Linie AB, eine andere BD senkrecht und eine zweyte AC schief aufsteht, so dass der spitze Winkel BAC nach der Seite jenes Perpendikels zu liegt, so müssen BD, AC genugsam verlängert [an der Seite der AB, auf welcher der spitze Winkel liegt] zusammen treffen.
- PDF 74 Lehrsatz 23. Wenn zwey grade Linien AC, BD mit einer dritten AB zwey innere Winkel* CAB, ABD bilden, deren Summe zwey rechte Winkeln gleich ist, so sind sie parallel.
- PDF 75 Lehrsatz 24. Wenn zwey grade Linien AI, BD, mit einer dritten AB zwey innere Winkel BAI, ABD bilden, deren Summe kleiner als zwey rechte Winkel ist, so treffen sie genugsam verlängert zusammen, und zwar an der Seite der AB, an welcher die beyden innern Winkel, die kleiner als zwey rechte sind, liegen.
- PDF 77 Lehrsatz 25. Wenn zwey Parallellinien AB, CD von einer graden Linie EF geschnitten werden, so ist die Summe der beyden innern Winkel AGO, GOC zwey rechten Winkeln gleich.
- PDF 79 Lehrsatz 26. Zwey grade Linien AB, CD, welche mit einer dritten EF parallel sind, sind untereinander selbst parallel.
- PDF 80 Lehrsatz 27. Zwey Parallellinien stehn überall gleich weit von einander ab, d.h. Perpendikel, die von Punkten in der einen auf die andre gefällt werden, sind überall gleich.
- PDF 81 [Lehrsatz 28.] Zwey grade Linien in einer Ebne, welche nicht parallel sind, stehn überall ungleich weit von einander ab, und zwar wird ihr Abstand nach der Seite zu, wo sie einander durchschneiden, immer kleiner, nach der entgegengesetzten immer grösser.
- PDF 83 Lehrsatz 29. Zwey Winkel BAC, DEF sind geich, wenn ihre Schenkel nach einerley Seite zu untereinander parallel laufen, d.h. so, dass je zwey der parallelen auf einerley Seite der andern Schenkel liegen.
- PDF 83 Lehrsatz 30. Wenn man die Seite CA eines Dreyecks verlängert, so ist der von der Verlängerung AD und der andern nicht verlängerten Seite AB eingeschlossne äussere Winkel am Dreyeck BAD der Summe der beyden innern ihm entgegenstehenden Winkeln B und C gleich.
- PDF 84 Lehrsatz 31. Die drey Winkel eines Dreyecks sind zusammengenommen zwey rechten Winkeln gleich.
- PDF 85 Lehrsatz 32. Die Summe aller innern Winkel eines gradelinigen Vielecks beträgt so vielmal zwey rechte Winkel, als das Vieleck Seiten, weniger zwey, hat.
- PDF 87 [Lehrsatz 33. ] Wenn man auf den Schenkeln eines Winkels zwey Perpendikel BD, CE, errichtet, so durchschneiden sich diese unter einen Winkel G, welcher dem Winkel A gleich ist.
- PDF 89 Lehrsatz 34. Jedes Parallelogramm wird 1) durch eine Diagonale in zwey sich deckende Dreyecke gehteilt; und 2) sind die sich gegenüberstehenden Seiten und Winkel derselben einander gleich.
- PDF 91 Lehrsatz 35. Umgekehrt ist jedes Viereck, worin die gegenüberstehenden Seiten [oder die genüberstehenden Winkel] einander gleich sind, ein Parallelogramm.
- PDF 93 Lehrsatz 36. Wenn zwey Seite AB, CD, eines Vierecks, welche einander gegenüberstehn, gleich und parallel sind; so sind auch die beyden andern Seiten AD, BC gleich und parallel, und das Viereck ist ein Parallelogramm.
- PDF 93 Lehrsatz 37. Die beyen Diagonalen AC, BD eines Parallelogramms theilen einander wechselseitig in zwey gleiche Theile.
- PDF 96 Zweytes Buch. Der Kreis.
- PDF 96 Erklärungen.
- PDF 106 [Lehrsatz 1.] 1) Zwey Kreislinien, welche mit gleichem Halbmesser beschrieben sind, decken sich, und schliessen Kreisscheiben von gleicher Grösse ein. 2) Sind umgekehrt zwey Kreisscheiben gleich, so decken sie sich, und haben gleiche Kreislinien und gleiche Halbmesser.
- PDF 108 Lehrsatz 2. Jeder Durchmesser, z.B. AB, theilt die Kreisscheibe und die Kreislinie in zwey sich deckende Theile.
- PDF 109 [Lehrsatz 3.] Wenn eine Kreislinie durch zwey Punkte A, B in zwey gleiche Bogen ADB, AEB getheilt wird, so ist die grade Linie AB, welche von einem dieser Punkte nach dem andern gezogen wird, ein Durchmesser des Kreises.
- PDF 109 [Lehrsatz 4.] Jede Sehne ED liegt ganz innerhalb, ihre Verlängerung ganz ausserhalb des Kreises.
- PDF 110 Lehrsatz 5. Jede Sehne die nicht durch den Mittelpunkt geht, ist kleiner als der Durchmesser.
- PDF 111 Lehrsatz 6. Eine grade Linie kann nicht mehr als zwey Punkte mit einem Kreise gemein haben.
- PDF 111 Lehrsatz 7. In einerley Kreise, oder in zwey gleichen Kreisen, gehören zu gleichen Bogen, gleiche Sehnen, und umgekehrt zu gleichen Sehnen, gleiche Bogen.
- PDF 113 Lehrsatz 8. So lange von Bogen die insgesammt kleiner als der Halbkreis sind die Rede ist, gehört in einerley Kreis oder in gleichen Kreisen, zum grössern Bogen eine grössere Sehne, [ein grösserer Winkel am Mittelpunkte und ein grösserer Kreisabschnitt,] und umgekehrt.
- PDF 114 Lehrsatz 9. Ein Halbmesser, welcher senkrecht auf eine Sehe steht, theilt die Sehne und ihren Bogen beyde in zwey gleiche Theile.
- PDF 116 Lehrsatz 10. Durch drey gegebne Punkte A, B, C, welche nicht in grader Linie liegen, lässt sich stets eine Kreislinie, und zwar nur eine einzige Kreislinie ziehen.
- PDF 118 Lehrsatz 11. 1) Gleiche Sehnen sind vom Mittelpunkt gleich weit entfernt, [und umgekehrt sind alle Sehnen, die gleich weit vom Mittelpunkte abstehn, gleich.] 2) Von zwey ungleichen Sehnen ist die Kleinere weiter als die Grössere vom Mittelpunkte entfernt.
- PDF 119 Lehrsatz 12. Jede grade Linie welche auf einem Halbmesser in dessen Endpunkte senkrecht steht, berührt den Kreis, und durch jeden Punkt der Kreislinie ist nur eine einzige Tangente möglich.
- PDF 125 Lehrsatz 13. Wenn zwey Parallellinien AB, DE, beyde den Kreis durchschneiden, so sind die Kreisbogen MN, PQ welche zwischen ihnen liegen, gleich.
- PDF 127 [Lehrsatz 14.] Sind umgekehrt zwey Bogen MN, PQ eines Kreises gleich, so sind 1) die Sehnen, welche durch die übereinstimmenden Endpunkte beyder gehn, MP, NQ, parallel. - 2) Die Sehnen welche durch die verkehrt liegenden Endpunkte beyder gezogen sind, MQ, NP, durchschneiden sich so, dass die ähnlich liegenden Theile in beyden gleich sind. - 3) Auch wenn die Sehnen der beyden gleichen Bogen MN, PQ selbst, sich ausserhalb des Kreises schneiden, so sind die abgeschnittnen Stücke in der Verlängerung ...
- PDF 133 [Lehrsatz 15.] Nimmt man ausserhalb oder innerhalb eines Kreises einen Punkt A und zieht durch ihn und den Mittelpunkt B eine grade Linie, welche die Kreislinie in den Punkten I und H durchschneidet; so hat 1) unter allen Punkten der Kreislinie der Punkt I, der in der Linie AH mit dem Punkte A zu einerley Seite des Mittelpunkts B liegt, den kleinsten; dagegen der Punkt H, der mit A auf entgegengesetzter Seite des Mittelpunktes B liegt, den grössten Abstand vom Punkte A ...
- PDF 136 [Lehrsatz 16.] 1) Zwey Kreise deren Mittelpunkte A, B, um die Summe oder um den Unterschied ihrer Halbmesser α, β von einander entfernt sind, berühren sich und zwar im ersten Fall äusserlich im zweyten innerlich. 2) Ist die Summe ihrer Halbmesser grösser oder der Unterschied derselben kleiner, so haben sie keinen Punkt miteinander gemein, und liegen im ersten Fall der eine ganz ausserhalb, im zweyten der eine ganz innerhalb des andern.
- PDF 140 [Lehrsatz 17.] Wenn zwey um die Mittelpunkte C und O beschriebne Kreise sich innerlich oder äusserlich berühren, so liegen, im ersten Fall die beyden übereinstimmenden Endpunkte E, G, im zweyten die verkehrt liegenden Endpunkte E, G zweyer paralleler Durchmesser DE, FG, mit dem Berührungspunkte I in grader Linie.
- PDF 142 [Lehrsatz 18.] Zwey Kreise können sich nur dann durchschneiden, wenn sowohl die Summe ihrer Halbmesser α, β grösser, als auch der Unterschied derselben kleiner als der Abstand ihrer Mittelpunkte A, B ist.
- PDF 143 [Lehrsatz 19.] Zwey Kreise die sich durchschneiden treffen sich stets in zwei Punkten, welche zu den entgegengesetzten Seiten der graden Linie durch beyde Mittelpunkte liegen. Umgekehrt durchschneiden sich alle Kreise, welche zwey Punkte gemein haben, oder die in einem Punkte ausserhalb der Linie durch ihre Mittelpunkte zusammen treffen.
- PDF 144 Lehrsatz 20. Wenn zwey Kreise sich schneiden, so wird ihre gemeinschaftliche Sehne von der graden Linie, die durch die beyden Mittelpunkte O, B geht, senkrecht durchschnitten und halbirt.
- PDF 145 Lehrsatz 21. Wenn in einerley Kreis oder in zwey gleichen Kreisen, zwey Winkel am Mittelpunkte ABC, DCE sich zu einander wie zwey ganze Zahlen verhalten; so müssen auch die beyden Bogen welche von ihnen umspannt werden AB, DE sich wie dieselben Zahlen, und folglich wie jene Winkel verhalten.
- PDF 147 Lehrsatz 22. Wie auch zwey Winkel ACB, ACD sich zu einander verhalten mögen, immer verhalten sich auf dieselbe Art zwey Kreisbögen AB, AD, welche um ihren Scheitelpunkt mit gleichem Halbmesser beschrieben und von ihren Schenkeln umspannt werden.
- PDF 154 Lehrsatz 23. Jeder einem Kreise eingeschriebene Winkel (d.h. jeder Winkel am Umfange) hat zu seinem Maasse den halben Bogen worauf er steht.
- PDF 160 Lehrsatz 24. 1. Jeder Winkel BIE, den eine Tangente IB mit einer Sehne IE macht, welche die Tangente im Berührungspunkte durchschneidet, hat zu seinem Maasse die Hälfte des Bogens INE der von beyden Linien eingeschlossen wird. [2. Umgekehrt muss jede grade Linie IB, welche durch den Endpunkt einer Sehne IE gegen diese Sehne unter einem Winkel gezogen wird, den die Hälfte des von ihnen eingeschlossnen Bogens INE misst, den Kreis im Punkte I berühren.]
- PDF 165 [Lehrsatz 25.] 1. Der Winkel AOD, unter welchem zwey Sehnen AB, DE eines Kreises sich durchschneiden, hat zu seinem Maass die halbe Summe der Bogen, welche seine Schenkel umspannen (AD+BE) : 2. 2. Der Winkel, unter welchem zwey verlängerte Sehnen AO', BO', oder eine verlängerte Sehne...
- PDF 169 [Lehrsatz 26.] Die Spitzen aller gleichen Winkel, welche über derselbe graden Linie BC stehn, liegen insgesammt in einer Kreislinie, die durch die Endpunkte dieser graden Linie B, C geht.
- PDF 173 Lehrsatz 27. 1. In jedem Viereck, welches in einem Kreise eingeschrieben ist, sind die gegenüberstehenden Winkel zusammengenommen zwey rechten Winkeln gleich. [2. Umgekehrt lässt sich um ein Viereck, worin die Summe der gegenüberstehenden Winkel zwey rechten Winkeln gleich ist, allemal ein Kreis umschreiben.]
- PDF 175 [Lehrsatz 28.] Wenn man auf der Sehne eines Kreisabschnitts AEB ein Perpendikel ED errichtet, und nimmt auf der andern Seite des Perpendikels im Bogen einen Punkt G, und in der Sehneoder deren Verlängerung einen Punkt F, wovon jener von E, dieser von D, eben so weit als diese letztern Punkte selbst vom Punkte B abstehn, so sind G und F vom andern Endpunkte A der Sehne gleich weit entfernt; oder wenn EG = EB und DF = DB ist, so ist immer AG = AF.
- PDF 177 [Lehrsatz 29.] Wenn eine grade Linie DE die Sehne eines Kreisabschnitts ABD unter einem Winkel AFD, welcher den Winkeln im Abschnitt gleich ist, durchschneidet, so steht der Durchmesser welcher durch den Punkt A geht, auf der durchschneidenden Linie DE senkrecht, und die Durchschnittspunkte D, E sind vom Punkte A gleich weit entfernt.
- PDF 178 [Lehrsatz 30.] Trägt man auf die Verlängerung einer Sehne AB, den Halbmesser des Kreises von B nach O auf, so schneiden die Sehne und der Durchmesser des Kreises, der verlängert durch O geht, von der Kreislinie zwey Bogen AD, BE' ab, wovon jener das Dreyfache dieses ist, oder Bog. AD = 3.Bog.BE'.
- PDF 185 Anhang. Aufgaben welche zu den beyden ersten Büchern gehören.
- PDF 186 Aufgabe 1. Eine gegebne grade Linie AB in zwey gleiche Theile zu theilen.
- PDF 187 Aufgabe 2. Auf eine grade Linie, durch einen in ihr gegebnen Punkt A, eine grade Linie senkrecht zu ziehn: oder an einem gegebnen Punkt A einer graden Linie BC einen rechten Winkel zu bilden.
- PDF 188 Aufgabe 3. Von einem ausserhalb einer graden Linie gegebnen Punkte A, ein Perpendikel auf diese Linie zu fällen.
- PDF 190 Aufgabe 4. 1. An einem Punkte A der graden Linie AB einen Winkel zu bilden, welcher einem gegebnen Winkel K gleich ist. [2. Durch einen Punkt R ausserhalb AB, nach dieser Linie eine grade Linie so zu ziehn, dass sie die AB unter einem gegebnen Winkel K durchschneide.
- PDF 191 Aufgabe 5. Einen gegebnen Kreisbogen oder einen gegebnen Winkel in zwey gleiche Theile zu theilen.
- PDF 192 Aufgabe 6. Durch einen Punkt A, der ausserhalb einer graden Linie BC gegeben ist, mit dieser graden Linie eine Parallellinie zu ziehn.
- PDF 194 Aufgabe 7. Aus zwey gegebnen Winkeln A und B eines Dreyecks, den dritten Winkel zu finden.
- PDF 194 Aufgabe 8. Wenn zwey Seiten A, B eines Dreyecks und der von ihnen eingeschlossne Winkel C gegeben sind, das Dreyeck zu beschreiben.
- PDF 194 Aufgabe 9. Wenn eine Seite B und zwey Winkeln C und C' eines Dreyecks gegeben sind, das Dreyeck zu beschreiben.
- PDF 195 Aufgabe 10. Wenn zwey Seiten A und B der der Seite B gegenüberstehende Winkel C eines Dreyecks gegeben sind, das Dreyeck zu beschreiben.
- PDF 197 Aufgabe 11. Wenn ein Winkel C und zwey ihn einschliessende Seiten A und B eines Parallelogramms gegeben sind, das Parallelogramm zu beschreiben.
- PDF 198 Aufgabe 12. Den Mittelpunkt eines gegebnen Kreises, oder eines gegebnen Kreisbogens zu finden.
- PDF 200 [Aufgabe 13.] Um einen gegebnen Mittelpunkt einen Kreis zu beschreiben, der eine gegebne grade Linie oder einen gegebnen Kreis berührt.
- PDF 202 Aufgabe 14. Durch einen gegebnen Punkt A eine Tangente an einen gegebnen Kreis zu ziehn.
- PDF 203 [Aufgabe 15.] In einem gegebnen Kreise eine Sehne einzutragen, welche einer gegebnen Linie MN (kleiner als der Durchmesser) gleich ist, und 1) durch einen gegebnen Punkt P geht, oder 2) einer gegebnen graden Linie Q parallel läuft.
- PDF 206 Aufgabe 16. Ueber eine gegebne grade Linie AB einen Kreisabschnitt zu beschreiben, welcher einen gegebnen Winkel C fasst, (d.h. wo jeder in diesen Kreisabschnitt eingeschriebne Winkel, dem Winkel C gleich ist.*)
- PDF 208 [Aufgabe 17.] Ein Dreyeck, welches mit einem gegebnen Dreyeck PQR gleichwinklig ist, 1) in einem gegebnen Kreis einzuschreiben, und 2) um einen gegebnen Kreis zu umschreiben.
- PDF 210 Aufgabe 18. Einen Kreis, 1) in ein gegebnes Dreyeck ABC einzuschreiben; 2) um ein gegebnes Dreyeck zu umschreiben.
- PDF 214 Aufgabe 19. Das Verhältnis zweyer grader Linien AB, CD, welche gegeben sind, in Zahlen auszudrücken, oder das Zahlverhältnis dieser Linien zu finden.
- PDF 224 Aufgabe 20. Wenn zwey Winkel A, B gegeben sind, ihr gemeinschaftliches Maass, und daraus ihr Zahlverhältniss zu finden.
- PDF 227 Drittes Buch. Der Inhalt Gradeliniger Figuren.
- PDF 228 Erklärungen.
- PDF 238 Lehrsatz 1. Parallelogramme von gleicher Grundlinie und gleicher Höhe haben gleichen Inhalt.
- PDF 240 Lehrsatz 2. Der Inhalt eines Dreyecks ABC, ist halb so gross als der Inhalt eines Parallelogramms, welches mit dem Dreyecke gleiche Grundlinie und gleiche Höhe hat.
- PDF 241 Lehrsatz 3. Die Flächenräume zweyer Rechtecke von gleicher Höhe, verhalten sich zu einander wie ihre Grundlinien.
- PDF 244 Lehrsatz 4. Die Flächenräume zweyer Rechtecke ABCD, AEGF verhalten sich zu einander wie die Produkte aus der Grundlinie eines jeden in dessen Höhe, oder es ist allgemein ABCD : AEGF = AB x AD : AE x AF.
- PDF 257 Lehrsatz 5. Der Flächenraum eines Parallelogramms wird durch das Produkt aus der Grundlinie in die Höhe gemessen; der Flächenraum eines Dreyecks durch das halbe Produkt aus der Grundlinie in die Höhe.
- PDF 259 Lehrsatz 6. Der Inhalt eines Trapezoid ABCD wird durch das Produkt aus der Höhe EF in die halbe Summe der parallelen Grundlinien desselben, AB, CD* gemessen.
- PDF 262 [Lehrsatz 7.] 1. Jede grade Linie, welche, wie DE, durch ein Dreyeck ABC mit einer Seite desselben, z.B. mit BC, parallel gezogen ist, theilt die beyden andern Seiten des Dreyecks in proportionale Theile, so dass sich verhält AD : DB : AB = AE : EC : AC. 2. Sind umgekehrt zwey Seiten AB, Ac eines Dreyecks in den Punkten ...
- PDF 268 [Lehrsatz 8.] Zwey grade Linien FH, GI, welche man durch einen Punkt E in der Diagonale eines Parallelogramms ABCD, mit den Seiten parellel zieht, theilen 1) die Flächen in vier kleinere Parallelogramme, welche unter sich, und mit dem Gegebnen, gleichwinklig und proportional sind, und 2) die Seiten in zwey proportionale Abschnitte. 3) Die parallelen Seiten der Parallelogramme um die Diagonale, GF, HI, AC, stehn in gleichem Verhältniss, und die Ergänzungen dieser ...
- PDF 273 Lehrsatz 9. Ein Quadrat aus einer zweytheiligen Linie AC ist den Quadraten über den beyden Abschnitten AB, BC, und zwey Rechtecken, welche aus den beyden Abschnitten beschrieben sind, zusammengenommen gleich; oder es ist AC² d.h. (AB+BC)² = AB²+BC²+2ABxBC.
- PDF 276 Lehrsatz 10. Ein Quadrat aus einer Linie AC, welche der Unterschied zweyer Linien AB, BC ist, beschrieben, ist gleich den Quadraten dieser beyden Linien zusammen genommen, weniger zweymal dem Rechteck aus beyden Linien AB, BC; oder es ist AC² d.h. (AB-BC)²=AB²+BC²-2*ABxBC.
- PDF 276 Lehrsatz 11. Ein Rechteck aus der Summe und dem Unterschiede zweyer Linien AB, BC beschrieben, ist dem Unterschiede der Quadrate aus beyden Linien gleich, oder (AB+BC)x(AB-BC)=AB²-BC².
- PDF 281 Lehrsatz 12. Das Quadrat der Hypotenuse BC eines rechtwinkligen Dreyecks ABC ist gleich den Quadraten über den beyden Katheten zusammen genommen, oder B²=AB²+AC².
- PDF 287 [Lehrsatz 13.] In jedem schiefwinkligen Dreyeck ist das Quadrat einer Seite BC, welche einem spitzen Winkel A gegenüber steht, kleiner, dagegen das Quadrat einer Seite bc, welche einem stumpfen Winkel a gegenüber steht, grösser als die Summe der Quadrate der beyden andern Seiten. Und zwar, wenn man von einem der Endpunkte dieser Seite, z.B. aus B, auf die gegenüberstehende Seite AC, oder deren Verlängerung, ein Perpendikel fällt; so ist das doppelte Rechteck aus AC und dem Abschnitte dieser Seite ...
- PDF 297 [Lehrsatz 14.] Ein Dreyeck ABC ist bey A rechtwinklig, spitzwinklig oder stumpfwinklig, je nachdem das Quadrat der Seite BC, welche diesem Winkel gegenübersteht, den Quadraten der beyden Seiten AB, AC, welche den Winkel A einschliessen, zusammengenommen gleich ist, oder kleiner, oder grösser ist, als diese beyden Quadrate.
- PDF 298 [Lehrsatz 15. ] Wenn man über zwey Seiten AB, AC eines Dreyecks ABC zwey Parallelogramme ABDE, ACFG, unter beliebigen Winkeln, und von beliebiger Grösse und Lage beschreibt, die Seiten derselben, welche den Seiten des Dreyecks gegenüberstehn, bis zu ihrem Durchschnittspunkte H verlängert, und durch diesen und die Spitze des Dreyecks die grade Linie HAK zieht: so ist, wenn diese Linien die Grundlinie BC selbst schneidet, die Summe; wenn sie hingegen die Verlängerung der Grundlinie...
- PDF 304 [Lehrsatz 16.] 1. Ein Perpendikel, welches aus einem der Eckpunkte eines Dreyecks, z.B aus A, auf die gegenüberstehende Seite BC, oder deren Verlängerung gefällt wird, schneidet diese so, dass der Unterschied der Quadrate aus beyden Abschnitten BD, DC, dem Unterschiede der Quadrate aus den beyden andern Seiten des Dreyecks, AB, AC, dem Unterschiede der Quadrate aus den beyden andern Seiten des Dreyecks, AB, AC, gleich ist (BD²-DC²=AB²-AC²;) und zwar liegt...
- PDF 307 [Lehrsatz 17.] 1. Wenn man in einem Dreyeck ABC von einem der Winkelpunkte, z.B. von A, eine grade Linie AO nach dem Punkte O in der Mitte der gegenüberstehenden Seite BC zeiht, so ist allemal AB²+AC²=2AO²+2OC².
- PDF 313 Lehrsatz 18. In jedem Parallelogramm ABCD ist die Summe der Quadrate aus allen Seiten, den Quadraten der beyden Diagonalen AC, BD zusammen gleich.
- PDF 314 [Lehrsatz 19.] In jedem Trapez ABCD übertrifft die Summe der Quadrate aller Seiten, die beyden Quadrate der Diagonalen AC, BD zusammen genommen; und zwar um ein Quadrat, welches man erhält, wenn man über zwey aneinander liegende Seiten des Trapezes ein Parallelogramm ABCE errichtet, den Abstand der beyden Eckpunkte D des Trapezes und E des Parallelogramms, die beyden nicht gemein sind, nimmt, und über diesen Abstand DE als Seite, ein Quadrat beschreibt ...
- PDF 316 [Lehrsatz 20.] Wenn man aus einem der Winkelpunkte eines Dreyecks ABC, z.B. aus A, nach irgend einem Punkte G in der gegenüberstehenden Seite BC, oder in deren Verlängerung, eine grade Linie AG zieht, so ist allemal [...]
- PDF 357 [Lehrsatz 21.] Zieht man aus der Spitze A eines gleichschenkligen Dreyecks ABC nach irgend einem Punkte G in der Grundlinie, oder nach einem Punkte g in deren Verlängerung, eine grade Linie, so ist stets der Unterschied der Quadrate aus dieser Linie und aus einem der gleichen Schenkel, gleich dem Rechteck aus den Abschnitten auf der Grundlinie, BG, CG, oder auf der verlängerten Grundlinie, Gb, Cg.
- PDF 360 [Lehrsatz 22.] 1) Wenn mehrere Sehnen insgesammt durch einen Punkt O im Kreise gehn, so sind die Rechtecke aus den beyden Stücken, welche auf jeder Sehne durch diesen Punkt abgeschnitten werden, sowohl untereinander, als auch mit dem Quadrate der halben Sehne gleich, welche mit dem Punkte O gleich weit vom Mittelpunkte absteht, z.B. AOxOB=DOxOE=OF². ...
- PDF 375 [Lehrsatz 23.] Wenn zwey Sehnen sich unter rechten Winkeln durchschneiden, so sind stets die Quadrate aus den vier Abschnitten zusammengenommen dem Quadrat des Durchmessers gleich.
- PDF 378 [Lehrsatz 24.] Wenn man auf dem Durchmesser AB eines Kreises, oder auf dessen Verlängerung, in einem willkürlichen Punkte D oder d ein Perpendikel errichtet, und zieht von dem einen Endpunkte des Durchmessers z.B. von A aus, grade Linien, welche die Kreislinie in Punkten F, das Perpendikel in Punkten G oder g durchschneiden, so sind die Rechtecke aus je zwey Abschnitten AF und AG gleich dem Rechtecke aus dem Durchmesser AB und dem Abschnitt AD desselben, der an dem Punkte A anliegt, und jene Rechtecke ...
- PDF 385 [Lehrsatz 25.] Wenn man durch einen beliebigen Punkt M einer Sehne AH, oder durch irgend einen Punkt m in deren Verlängerung, eine grade Linie MD oder md parallel mit der Tangente AK, welche durch den einen Endpunkt A dieser Sehne geht, zieht, so werden auf jeder andern graden Linie, welche durch den Punkt A geht, und daher den Kreis in einem zweyten Punkte F, die Linie MD oder md hingegen in Punkten G oder g durchschneidet*, zwey Stücke AF und AG oder Ag so abgeschnitten, dass ...
- PDF 399 [Lehrsatz 26.] 1) Wenn ein Kreis, mithin auch dessen Mittelpunkt C, und irgend ein zweyter Punkt A gegeben sind, gleich viel ob A innerhalb, oder ausserhalb, oder auf der Kreislinie liegt, und wenn grade Linien, vom Punkte A aus gezogen, sich mit den Sehnen BD dieses Kreises je zwey so in Punkten e durchschneiden, 1) dass entweder Ae²=BexDe, oder wenn S einen gegebnen Flächenraum bedeutet, Ae²=BexDe+S ist: und irgend einer dieser Punkte e liegt ausserhalb des Kreises, auf der Verlängerung einer Sehne ...
- PDF 408 Aufgaben welche zum dritten Buche gehören.
- PDF 408 Aufgabe 1. Ein gegebnes Vieleck in ein Dreyeck von gleichem Inhalt zu verwandlen.
- PDF 410 Aufgabe 2. Ein Parallelogramm unter einem gegebnen Winkel zu bilden, welches mit einem gegebnen Parallelogramm, oder Trapezoid, oder Dreyeck, gleichen Inhalt hat.
- PDF 411 Aufgabe 3. Ueber eine gegebne grade Linie MN ein Parallelogramm zu beschreiben, welches mit einem gegebnen Parallelogramm ABCD gleichen Inhalt hat, und unter gleichen Winkeln enthalten ist.
- PDF 415 Aufgabe 4. 1) Eine gegebne gerade Linie AB in beliebig viel gleiche Theile zu theilen. 2) Eine gegebne grade Linie AB, entweder mehrerern gegebnen Linien P, Q, R, oder einer gegebnen eingetheilten Linie MN, proportional einzutheilen.
- PDF 419 Aufgabe 5. 1) Eine gegebne grade Linie BC, nach einem gegebnen Zahlverhältnisse m:n. einzutheilen. 2) Auf der Verlängerung einer gegebnen graden Linie BC so einen Punkt g zu bestimmen, dass die beyden Abschnitte Bg, Cg, in dem gegebnen Zahlverhältnisse m:n stehn.
- PDF 423 Aufgabe 6. Wenn ein Winkel A, und ein Punkt B gegeben sind, durch diesen Punkt eine grade Linie so zu ziehn, dass durch die Schenkel des Winkels auf ihr zwey Stücke BC, BD abgeschnitten werden, die in einem gegebnen Verhältniss stehn, sich nemlich wie die gegebnen Linien P:Q verhalten.
- PDF 424 Aufgabe 7. Zu drey gegebnen Linien P, Q, R, die vierte Proportionallinie zu finden.
- PDF 427 Aufgabe 8. Ein gegebnes Parallelogramm, oder ein gegebnes Dreyeck oder ein gegebnes Trapezoid, in eine Figur von einer dieser drey Gattungen zu verwandeln, welche mit der gegebnen gleichen Inhalt hat, und entweder über einer gegebnen Grundlinie MN steht, oder eine gegebne Höhe hat.
- PDF 429 Aufgabe 9. Zu zwey gegebnen Linien P, Q, als äussere Glieder einer Proportion, zwey andre Linien Y, X, deren Unterschied oder deren Summe einer gegebnen Linie N gleich ist, als mittlere Glieder der Proportion zu finden.
- PDF 432 Aufgabe 10. Wenn zwey Rechtecke, aus den Linien A, B und P, Q, gegeben sind, eine Linie zu finden, zu welcher sich eine Seite des einen Rechtecks, wie der Inhalt beyder Rechtecke zu einander verhält.
- PDF 433 Aufgabe 11. Zwey Linien darzustellen, deren Verhältniss aus den gegebnen Verhältnissen dreyer Paar Linien A, B, C und P, Q, R zusammengesetzt ist, oder die sich wie die Produkte dreyer Linien, zu den Produkten dreyer andrer Linien* verhalten.
- PDF 434 Aufgabe 12. Zu zwey gegebnen Linien P, Q die dritte Proportionallinie zu finden.
- PDF 437 Aufgabe 13. 1) Zwischen zwey gegebnen graden Linien P und Q eine mittlere Proportionallinie zu finden, und 2) zwischen einer graden Linie AB und einem gegebnen Abschnitt derselben AD, eine mittlere Proportionallinie darzustellen.
- PDF 441 Aufgabe 14. Eine gegebne gradelinige Figur in ein Quadrat zu verwandeln.
- PDF 443 Aufgabe 15. Ein Quadrat zu bilden, welches der Summe zweyer oder mehrerer gegebner Quadrate gleich ist.
- PDF 444 Aufgabe 16. Ein Quadrat zu bilden, welches dem Unterschiede zweyer oder mehrerer gegebnen Quadrate gleich ist.
- PDF 446 Aufgabe 17. Ein Quadrat zu beschreiben, zu welchem ein gegebnes Quadrat M², in dem Verhältnisse zweyer gegebnen Linien P, Q steht.
- PDF 447 Aufgabe 18. Eine gegebne grade Linie AB so zu verlängern, dass das Rechteck aus der verlängerten Linie AF, und der Verlängerung BF, dem Rechteck aus zwey gegebnen Linien P und Q gleich, oder AFxBF=PxQ sey.
- PDF 448 Aufgabe 19. Eine gegebne grade Linie BH, so in zwey Theile BF, FH einzutheilen, dass das Quadrat des einen Theils, gleich sey dem Rechteck aus dem andern Theile und einer gegebnen Linie P, oder BF²=PxFH.
- PDF 449 Aufgabe 20. Eine grade Linie AB, in welcher ein Punkt E gegeben ist, aufs neue so in einem Punkte D einzutheilen, dass AD²=EDxDB sey.
- PDF 450 Aufgabe 21. Von einem gegebnen Punkte A ausserhalb eines Kreises eine grade Linie so zu ziehn, dass sie von der Kreislinie, zweyen gegebnen Linien P, Q proportional eingetheilt werde.
- PDF 457 [i.e. 451] Aufgabe 22. Das Verhältniss zwischen der Seite AB und der Diagonale AC eines Quadrats zu finden.
- PDF Erklärung der Marginalien.
- PDF Einige Druckfehler.
- PDF Faltblätter
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