Deutsch

Ist X ein Messraum und f : X nach X eine messbare Abbildung, so ist der Transferoperator zu f eine lineare Abbildung Pf : M(X) nach M(X), wobei M(X) ein geeignet gewählter Vektorraum von Maßen über X ist und Pf durch die Vorschrift Pfμ(A) = μ(f^(−1)(A)) für alle messbaren Mengen A und alle Maße μ in M(X) definiert wird. In dieser Dissertation werden Transferoperatoren für eine spezielle Klasse von Abbildungen betrachtet, nämlich jene, die ein coupled cell system3 beschreiben. Ein solches ist ein auf einem coupled cell network zulässiges dynamisches System. Dieses Konzept wird in anwendungsorientierten wie in theoretischen Arbeiten verwendet, um dynamische Systeme zu beschreiben, die aus einzelnen Teilen (genannt Zellen) aufgebaut sind, die sich gegenseitig in der zeitlichen Entwicklung ihrer inneren Zustände beeinflussen. Der Zustandsraum X des coupled cell system ist damit das kartesische Produkt der Zustandsräume Xc der einzelnen Zellen, und jede einzelne Komponentenabbildung fc kann von c und mehreren anderen Zellen abhängen. Die Struktur des einem coupled cell system unterliegenden Kopplungsnetzwerks kann mit Hilfe seines sogenannten Symmetriegruppoiden algebraisch beschrieben werden. Die Zulässigkeit einer Abbildung f auf einem Netzwerk lässt sich dann als Äquivarianz der Abbildung in Bezug auf eine bestimmte Wirkung des Gruppoiden ausdrücken. Im Falle eines dynamischen Systems mit klassischen, durch die Äquivarianz in Bezug auf die Wirkung einer Gruppe ausgedrückten Symmetrien ziehen die Ergebnisse der linearen Darstellungstheorie Implikationen für ein System nach sich, die weit reichende Beschreibungen seiner Dynamik erlauben. Insbesondere lässt sich zeigen, dass der Transferoperator aufgrund der Symmetrie bestimmte Unterräume invariant lässt. Im Hinblick auf diese Ergebnisse ist es das Ziel dieser Dissertation, die strukturellen Konsequenzen zu beschreiben, die die Äquivarianz in Bezug auf die Wirkung des Symmetriegruppoiden für den Transferoperator eines coupled cell system nach sich zieht. Wie lassen sich strukturelle Eigenschaften der Abbildung f in Eigenschaften von Pf übersetzen? Zur Beantwortung dieser Fragen wird eine Zerlegung des Maßraumes M(X) in eine direkte Summe von durch die Teilmengen D der Menge der Zellen parametrisierten Unterräumen UD eingeführt, die es erlaubt, die Kopplungsstruktur des Netzes in der zugehörigen Blockzerlegung des Transferoperators wiederzufinden. Weiterhin wird zur Analyse der Symmetriebeziehungen dem Symmetriegruppoiden eine Familie von Symmetriegruppen GammaD für Teilmengen von Zellen zugeordnet, die es erlauben, klassische Ergebnisse der Darstellungstheorie von Gruppen zu nutzen, um weitere Strukturmerkmale des Transferoperators zu bestimmen. Der direkten Verwendung der theoretischen Ergebnisse in einem numerischen Verfahren zur Berechnung einer Näherung an den Transferoperator steht die Tatsache entgegen, dass übliche Methoden für eine solche Berechnung die Verwendung von Basen von M(X) voraussetzen, die auf eine bestimmte Weise aus Diskretisierungen des Zustandsraumes X hervorgehen. Diese Basen scheinen unverträglich mit der Zerlegung von M(X) zu sein. Die diesem Problem zu Grunde liegenden Ursachen werden detailliert erklärt; weiterhin wird eine alternative Methode für die effiziente Berechnung von Pf skizziert.

English

Given a (measurable) space X and a measurable map f : X to X, the transfer operator for f is a linear map Pf :M(X) to M(X) defined by the prescription Pfμ(A) = μ(f^(−1)(A)) for all measurable sets A in X and all μ in M(X). Here M(X) is a suitably chosen linear space of measures on X. In this thesis, transfer operators are considered for a particular class of maps: those that describe a coupled cell system. A coupled cell system is a dynamical system admissible to a coupled cell network. This concept is used both in applications and in theoretical works to model dynamical systems that are built up from smaller parts (called cells), that influence each other in the temporal evolution of their internal state. Thus the state space X of a coupled cell system is the cartesian product of the state spaces Xc of the individual cells, and each component map fc may depend on c and several other cells. The structure of the network underlying a coupled cell system can be described in an algebraic way by means of its so-called symmetry groupoid. Admissibility of a map f on the network can then be expressed as equivariance of f with respect to a certain action of this groupoid. In the case of dynamical systems with classical symmetries, expressed by equivariance with respect to group actions, the results of linear representation theory have implications for a system that allow far-reaching characterisations of its dynamics. In particular, its transfer operator can be shown to possess invariant subspaces due to symmetry. In view of these results, the aim of this thesis is to describe the structural implications that equivariance with respect to the action of the symmetry groupoid has for the transfer operator of a coupled cell system. How can the structural properties of the map f be translated into properties of the transfer operator Pf? To answer this question, this thesis shows that it is possible to decompose M(X) into the direct sum of subspaces UD parametrized by the set of subsets D of the set of cells in such a way that the coupling structure of the network is reflected in the corresponding block decomposition of the transfer operator. Furthermore, to analyse the structure of Pf due to symmetry properties of the network, a family GammaD of symmetry groups for subsets of the set of cells is associated to the symmetry groupoid. These groups make it possible to use results from representation theory to determine further structural properties of the transfer operator. The direct application of the theoretical results in a numerical scheme for the approximation of the transfer operator is prevented by the fact that standard methods for this task rely on the usage of bases of M(X) that are derived from discretizations of the state space X in a specific manner. These bases appear to be incompatible with the decomposition of M(X). The reasons underlying this problem are explained in detail, and an alternative method for the efficient approximation of Pf is sketched.