Wir präsentieren die additiven arithmetischen Halbgruppen und fassen die wichtigsten Ergebnisse über Primzahl- und Mittelwertsätze auf additiven arithmetischen Halbgruppen zusammen. Wir beginnen mit Definitionen und Beispielen, danach vergleichen wir die Ansätze, die verwendet wurden, um Primzahlsätze zu beweisen. Anschließend geben wir einen kurzen Überblick über Faltung und erzeugende Funktionen. Dann betrachten wir komplexwertige multiplikative Funktionen auf additiven arithmetischen Halbgruppen. Zuerst fassen wir einige Ergebnisse für multiplikative Funktionen vom Betrag kleiner gleich 1 zusammen, dann allgemeiner für gleichgradig summierbare multiplikative Funktionen. Danach beweisen wir neue Mittelwertsätze für gleichgradig summierbare multiplikative Funktionen auf additiven arithmetischen Halbgruppen. Diese Sätze sind allgemeiner als die bisherigen, weil unsere Bedingungen an die additiven arithmetischen Halbgruppen schwächer sind und weil wir eine größere Klasse von Funktionen behandeln. In dem Beweis benutzen wir eine Methode über Taubersätze von Indlekofer, und einige Ideen des Beweises der Mittelwertsätze fur multiplikative Funktionen in der klassischen Zahlentheorie. Schließlich geben wir als eine Anwendung unserer Ergebnisse eine Charakterisierung von endlich verteilten additiven Funktionen auf additiven arithmetischen Halbgruppen und einen Beweis für den Drei-Reihen-Satz auf additiven arithmetischen Halbgruppen.

We present the additive arithmetical semigroups and summarize the improvements on prime number theorems and mean-value theorems on additive arithmetical semigroups. We start with definitions and examples, then compare the approaches, which have been used to prove prime number theorems. Thereafter, we give a short outline of the convolution theory and generating functions. Then we proceed with complex-valued multiplicative functions on additive arithmetical semigroups. First we summarize some results for multiplicative functions of modulus less or equal to 1, and more generally for uniformly summable multiplicative functions. Afterwards, we prove new mean-value theorems for uniformly summable multiplicative functions on additive arithmetical semigroups. These theorems are more general than the previous results because our conditions on the additive arithmetical semigroups are weaker and we can prove our mean-value theorems for a larger class of functions. In the proof we use some tauberian theorems by Indlekofer, and some ideas of the proof of mean-value theorems for multiplicative functions in the classical number theory. Finally, we give an application of our results by proving a characterization of finitely distributed functions on additive arithmetical functions and the Three-series theorem on additive arithmetical semigroups.