In dieser Doktorarbeit wird ein Algorithmus zum Berechnen von Galoisgruppen über lokalen Funktionenkörpern entwickelt. Dabei wird eine Variante des Zerfällungskörper-Algorithmus verwendet und ausgenutzt, dass lokale Funktionenkörper isomorph zu einem Laurentreihenring über endlichen Körpern sind. Diese Idee reduziert die Komplexität der benötigten Polynomfaktorisierungen. Die Kombination dieses Ansatzes mit Verzweigungspolygonen, welche in der Doktorarbeit von Greve zur Berechnung von Galoisgruppen über p-adischen Körpern eingeführt wurden, liefert eine weitere Verbesserung. Alle in der Arbeit vorgestellten Algorithmen wurden im Computeralgebrasystem Magma implementiert. Darüber hinaus wird der Algorithmus zum Berechnen von Minimalpolynomen in lokalen Funktionenkörpern verbessert. Dies beschleunigt die Berechnung von Zerfällungskörpern über diesen Körpern. Insgesamt ergibt sich die erste Implementierung eines Algorithmus zum Berechnen von Galoisgruppen über lokalen Funktionenkörpern. Anhand von einer Vielzahl von Beispielen wird die Effizienz des Ansatzes demonstriert. So wird z.B. ein Zerfällungskörper vom Grad 522240 bestimmt.

In this thesis, we develop an algorithm for computing Galois groups over local function fields. We use a variation of a splitting field approach by taking advantage of the fact that all local function fields are isomorphic to a Laurent series ring over a finite field. This idea reduces the complexity of the necessary factorizations of polynomials. By combining this with ramification polygons used in Greve's PhD-thesis for computing Galois groups over p-adic fields, we got further improvements. All algorithms presented in this thesis have been implemented in the computer algebra system Magma. Moreover, the algorithm for computing the minimal polynomial of elements in local function fields has been improved. This speeds up the factoring algorithm of polynomials over local function fields. As a result, we get the first implemented algorithm for computing Galois groups over local function fields. We demonstrate the efficiency by providing a large number of examples, where the resulting splitting fields have degrees up to 522240.