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Abstract

Die vorliegende Arbeit untersucht verschiedene Systeme parabolischer Differentialgleichungen mit nichtdiagonalen Diffusionsmatrizen, welche ihren Ursprung unter anderem in der Biologie haben. Der destabilisierende Effekt der Nichtdiagonal-Einträge, also der sogenannten Kreuz-Diffusions-Terme, ist wohlbekannt; insbesondere kann für keines der hier betrachteten Systeme ein bedingungsloses Globales-Existenz-Resultat erwartet werden. Der Problematik geringer Regularität in kreuz-diffusiven Systemen lässt sich im Wesentlichen auf zwei Wegen nähern, welche wir beide für gewisse Beispiel-Probleme verfolgen. Während der erste aus dem Nachweis von in endlicher Zeit explodierenden Lösungen besteht, also daraus, Grenzen möglicher Resultate betreffend globaler Existenz aufzuzeigen, versucht der zweite nichtsdestotrotz globale Lösungen zu konstruieren, sowohl unter zusätzlichen Annahmen (beispielsweise an die Anfangsdaten) als auch in gewissen verallgemeinerten Sinnen. In einem zweitem Schritt fragen wir dann nach weiteren qualitativen and quantitativen Eigenschaften dieser Lösungen. Insbesondere beschreiben wir deren Verhalten für große Zeiten (sofern sie global existieren) beziehungsweise nahe ihrer Explosionszeit (falls das nicht der Fall ist).

Abstract

This work examines various systems of parabolic differential equations with nondiagonal diffusion matrices inter alia originating in biology. The destabilizing nature of the nondiagonal entries, the so-called cross-diffusion terms, is well-known; in fact, for none of the systems covered here, unconditional global existence results for classical solutions should be expected. The low regularity of cross-diffusive systems can essentially be dealt with in two ways, both of which we explore for certain examples in this thesis. While the first one consists of rigorously showing that certain classical solutions blow up in finite time, thereby putting limits to the extent of potential global existence theorems, the second one aims to construct global solutions despite these challenges, either under certain additional assumptions (say, on the initial data) or in a more generalized sense. In a second step, we then proceed to ask further qualitative and quantitative questions concerning these solutions. In particular, we describe their behavior at large times (if they are global-in-time) or near their blow-up time (if they are not).

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