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Abstract

Wir betrachten die nicht- und semiparametrische Schätzung der Erwartungsfläche einer funktionalen Zeitreihe. Für die (univariate) lokale Regression wird ein Verfahren zur Randmodifikation vorgestellt, welches eine glatte Fortsetzung des Schätzers zu den Rändern hin ermöglicht. Die vorgeschlagene Methode zur Randmodifikation ist geeignet, um Randkernfunktionen zu erzeugen. Sowohl die Randmodifikation als auch die daraus erzeugten Kernfunktionenspielen in der Schätzung der Erwartungsfläche eine wichtige Rolle. Die nichtparametrische Schätzung der Erwartungsfläche einer funktionalen Zeitreihe impliziert lange Rechenzeiten unter den klassischen bivariaten Regressionsmethoden wieder Kernregression oder der Lokalen Regression. Die doppelt bedingte Glättung (Double Conditional Smoothing, DCS) überführt eine bivariate Regression in zwei univariate Regressionen und verkürzt die Laufzeit des Algorithmus insbesondere für große Datensätze. Wir stellen ein funktionales DCS für Kern- und lokale Regression vor, sowohl unter der Annahme von unabhängigen als auch von abhängigen Störtermen. Es wird gezeigt, dass, unter bestimmten Annahmen, der DCS-Schätzer äquivalent zur bivariaten Regression ist. Integralformeln für den asymptotischen Erwartungswert und die asymptotische Varianz des DCS-Schätzers werden hergeleitet. Daraus ergeben sich die asymptotisch optimalen Bandbreiten zur Schätzung der Regressionsfläche oder partieller Ableitungen dieser. Die datengestützte Wahl dieser Bandbreiten erfolgt mit einem iterativen Plug-In Algorithmus welcher schnell die gegen die optimalen Bandbreiten konvergiert. Die entwickelten Algorithmen und Funktionen sind im R-Paket DCSmooth implementiert.

Abstract

We consider nonparametric and semiparametric estimation of the mean or expectation surface of a functional time series on a lattice. For (univariate) local regression, we propose a boundary modification procedure that allows smooth continuation of the estimates from the interior to the boundary. The proposed method for boundary modification is suitable for generating boundary kernel functions. Both the boundary modification and the kernel functions generated from it, are important to the considered estimation of the expectation surface. The nonparametric estimation of the expectation surface of a functional time series implies long computation times under the classical bivariate regression methods such as kernel regression or local regression. The double conditional smoothing (DCS) transforms a bivariate regression into two univariate regressions and shortens the running time of the algorithm, especially for large data sets. We present a functional DCS for both kernel and local regression, under the assumption of independent and dependent error terms. It is shown that, under certain assumptions, the DCS estimator is equivalent to bivariate regression. Integral formulas for the asymptotic expectation and the asymptotic variance of the DCS estimator are derived. This yields the asymptotically optimal bandwidths for estimating the regression surface or partial derivatives of it. These bandwidths are selected in a data-driven procedure by an iterative plug-in algorithm, which quickly converges to the optimal bandwidths. The developed algorithms and functions are implemented in the R package DCSmooth.