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Abstract

Wir untersuchen die klassische und die sogenannte soft-killing Variante des inversen first-passage time Problems für die Brownsche Bewegung. Zu einer gegebenen Verteilung auf den positiven reellen Zahlen, besteht das inverse (soft-killing) first-passage time Problem in der Suche nach einer unbekannten Funktion, deren (soft-killing) first-passage time die zuvor gegebene Verteilung hat. Durch die Verwendung von stochastischen Ordnungsrelationen erhalten wir neue probabilistische und elementarere Ansätze für diese Probleme, die bisher meist im Zusammenhang mit partiellen Differentialgleichungen behandelt wurden. Bei dem klassischen Problem erhalten wir einerseits das bekannte Eindeutigkeitsresultat für Lösungen, erzielen aber andererseits auch neue Resultate, wie zum Beispiel ein Vergleichsprinzip und hinreichende Bedingungen für Monotonie und Lipschitzstetigkeit. Unter Anwendung dieser Resultate untersuchen wir den Spezialfall der Exponentialverteilung und andere Beispiele. Außerdem untersuchen wir ein interagierendes Teilchensystem, dessen hydrodynamischer Grenzwert bei gegebener Verteilung die Lösung des inversen first-passage time Problems findet. Für das soft-killing Problem zeigen wir eine stärkere Version des bekannten Existenz- und Eindeutigkeitsresultates für stetige Lösungen, indem wir nur die notwendige Bedingung für die Existenz annehmen und das Ergebnis auf eine allgemeinere Klasse von Markov-Prozessen erweitern.

Abstract

We study the classical and the soft-killing variant of the inverse first-passage time problem for Brownian motion. Given a distribution on the positive real line, the (soft-killing) inverse first-passage time problem consists of asking for an unknown function, such that the (soft-killing) first-passage time of this function has the given distribution. By the use of stochastic order relations we provide new probabilistic and more elementary approaches to these problems, which were hitherto mostly tackled in the context of partial differential equations. In the classical problem, at the one hand we obtain the known uniqueness result for solutions, but on the other hand establish new results, such as a comparison principle and sufficient conditions for monotonicity and Lipschitz continuity. Using these results we study the special case of the exponential distribution and other examples. Further, given a distribution, we study an interacting particle system, whose hydrodynamic limit finds the solution of the inverse first-passage time problem. In the soft-killing problem we show a stronger version of the known existence and uniqueness result for continuous solutions, assuming only the necessary condition for existence, and extend the result to a more general class of Markov processes.