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Zusammenfassung

Ziel dieser Arbeit ist es, die Korrespondenz des Laplace-Spektrums eines kompakten lokal symmetrischen Rang-1-Raumes mit dem ersten Band der Ruelle-Pollicott-Resonanzen des geodätischen Flusses auf dessen Einheitssphärenbündel zu vervollständigen. Die Erforschung dieser Fragestellung wurde von Flaminio und Forni im Kontext hyperbolischer Flächen begonnen und von Dyatlov, Faure und Guillarmou für reell hyperbolische Räume sowie von Guillarmou, Hilgert und Weich für allgemeine Rang-1-Räume fortgeführt. Mit Ausnahme des Falles hyperbolischer Flächen wurde in sämtlichen Arbeiten eine abzählbare Menge von Ausnahmepunkten ausgeschlossen, da die zugehörigen Poisson-Transformationen an diesen Punkten weder injektiv noch surjektiv sind. Wir benutzen vektorwertige Poisson-Transformationen, um auch die Ausnahmepunkte zu behandeln. Insbesondere werden explizite quanten-klassische Korrespondenzen bewiesen und die zugehörigen Darstellungen identifiziert. Während die Ausnahmepunkte im Fall hyperbolischer Flächen auf Darstellungen der diskreten Reihe von SL(2,R) führen, erweisen sich die resultierenden Darstellungen im Allgemeinen als Darstellungen relativer diskreter Reihen assoziierter nicht-Riemann'scher symmetrischer Räume.

Abstract

The aim of this thesis is to complete the program of relating the Laplace spectrum for rank one compact locally symmetric spaces with the first band Ruelle-Pollicott resonances of the geodesic flow on its sphere bundle. This program was started by Flaminio and Forni for hyperbolic surfaces, continued by Dyatlov, Faure and Guillarmou for real hyperbolic spaces and by Guillarmou, Hilgert and Weich for general rank one spaces. Except for the case of hyperbolic surfaces a countable set of exceptional spectral parameters was always left untreated since the corresponding Poisson transforms are neither injective nor surjective. We use vector-valued Poisson transforms in order to treat also the exceptional spectral parameters. In particular, explicit quantum-classical correspondences are proven and the associated representations are identified. Whereas for hyperbolic surfaces the exceptional spectral parameters lead to discrete series representations of SL(2,R), the resulting representations turn out to be relative discrete series representations for associated non-Riemannian symmetric spaces in the general case.