Bibliographic Metadata
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- TitleTwo descriptions of the Quantum Group U_v(A_2 (2)) via Hall algebras and derived equivalences : / von Heike Karin Herr ; [Betreuer: Prof. Dr. Igor Burban]
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- Description1 Online-Ressource (98 Seiten)
- Institutional NoteUniversität Paderborn, Dissertation, 2023
- AnnotationTag der Verteidigung: 30.06.2023
- Defended on2023-06-30
- LanguageGerman
- Document TypesDissertation (PhD)
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Zusammenfassung
Seien k = F_q, k K eine Körpererweiterung von Grad 4 und =(k 0, K K). Das erste neue Ergebnis dieser Arbeit ist die explizite Beschreibung der unzerlegbaren präprojektiven -Moduln mit Endomorphismenalgebra K. Dies vervollständigt die Klassifikation von D. Baer. Der Hauptfokus dieser Dissertation liegt auf der Strukturtheorie der quantisierten einhüllenden Algebra U_v(A_2 (2)) ausgehend von der Kategorie mod(). Durch Ergebnisse von C. Ringel und J. A. Green ist bekannt, dass das reduzierte Drinfeld-Doppel der Kompositionsalgebra von mod() isomorph ist zu U_v(A_2 (2)) (wobei v = q). Diese Algebra erlaubt auch eine weitere Realisierung U_v Dr(A_2 (2)) nach V. G. Drinfeld. Außerdem ist bekannt, dass mod() deriviert äquivalent ist zu der Kategorie Coh(X) von kohärenten Garben einer bestimmten nicht-kommutativen projektiven erblichen Kurve X. Das Hauptergebnis dieser Arbeit ist die Beschreibung der Kompositionsalgebra von Coh(X) durch Erzeuger und Relationen. Wir identifizieren das reduzierte Drinfeld-Doppel der Kompositionsalgebra von Coh(X) mit U_v Dr(A_2 (2)) und benutzen die derivierte Äquivalenz von mod() und Coh(X), um den Drinfeld-Beck-Isomorphismus zwischen U_v(A_2(2)) and U_v Dr(A_2 (2)) zu erhalten. Währenddessen finden wir kleinere Fehler in der Arbeit von T. Akasaka, wo dieser Isomorphismus genauer studiert wurde. Als eine Anwendung der Hall-theoretischen Herangehensweise konstruieren wir eine explizite Basis des positiven Teils U_v +(A_2 (2)), die orthogonal ist bezüglich der Drinfeld-Rosso-Form.
Abstract
Let k=F_q, kK be a field extension of degree 4 and =(k 0, K K). The first new result of this thesis is an explicit description of indecomposable preprojective -modules with endomorphism algebra K, which completes the classification given by D. Baer. The main focus of this thesis belongs to the structure theory of the quantized enveloping algebra U_v(A_2 (2)) based on the study of the category mod(). By results of C. Ringel and J. A. Green, the reduced Drinfeld double of the composition algebra of mod() is isomorphic to U_v(A_2 (2)) (where v = q). This algebra admits another realization U_v Dr(A_2 (2)) due to V. G. Drinfeld. It is known that mod() is derived equivalent to the category Coh(X) of coherent sheaves on a certain non-commutative projective hereditary curve X. The main result of this thesis is the description of the composition algebra of Coh(X) via generators and relations. We identify the reduced Drinfeld double of the composition algebra of Coh(X) with U_v Dr(A_2 (2)) and use the derived equivalence of mod() and Coh(X) to recover the Drinfeld-Beck isomorphism between U_v(A_2 (2)) and U_v Dr(A_2 (2)). On the way, we detect some (minor) mistakes in the work of T. Akasaka, in which this isomorphism was studied in detail. As an application of this Hall-theoretical approach, we construct an explicit basis of the positive part U_v +(A_2 (2)) which is orthogonal with respect to the Drinfeld-Rosso form.
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