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Zusammenfassung
  • Diese Dissertation stellt neue Verbindungen zwischen tropischen linearen Räumen, Bruhat–Tits-Gebäuden und bewerteten Matroiden her. Im zweiten Teil untersucht sie diese Strukturen aus der Perspektive der reellen tropischen Geometrie. Darüber hinaus entwickelt sie tropische Analoga reduktiver Gruppen sowie eine Theorie tropischer Hauptfaserbündel auf tropischen Kurven, das heißt, auf metrischen Graphen. Der erste Teil entwickelt eine tropische Interpretation des Gebäudes der projektiven allgemeinen linearen Gruppe PGLr+1(K). Wir zeigen, dass dieses Gebäude als inverser Limes aller tropikalisierten linearen Räume entsteht und erhalten damit eine lineare Version des Satzes von Payne. Zudem beweisen wir in diesem Zusammenhang ein Resultat zur treuen Tropikalisierung für kompaktifizierte lineare Räume. Die Konstruktion tropischer linearer Räume wird anschließend auf bewertete Matroide mit unendlicher Grundmenge erweitert und wir zeigen, dass der zu dem universellen realisierbaren Matroid gehörige tropische lineare Raum mit dem Gebäude selbst übereinstimmt. Dies ist eine Verallgemeinerung eines Resultats von Dress und Terhalle. Der zweite Teil führt den signierten Goldman–Iwahori–Raum für reell abgeschlossene bewertete Körper ein, ein signiertes Analogon des im ersten Teil untersuchten Gebäudes. Unter Verwendung von Methoden der reellen tropischen Geometrie zeigen wir, dass dieser Raum als inverser Limes aller reell tropikalisierten linearen Räume entsteht und mit dem reell-tropischen linearen Raum des universellen realisierbaren orientierten Matroids übereinstimmt. Während sich viele Konstruktionen aus dem ersten Teil erwartungsgemäß übertragen lassen, treten im signierten Fall zugleich neue Phänomene auf, darunter signierte Seminormen, die nicht diagonalisierbar sind. Im Fall konstanter Koeffizienten, also für K = R, beschreiben wir diesen Raum explizit und stellen Verbindungen zu reellen Bergman–Fächern her. Der letzte Teil entwickelt ein elementares tropisches Analogon einer reduktiven Gruppe, das die Daten einer Weyl-Gruppe und der Tropikalisierung eines maximalen Torus kombiniert. Für klassische Gruppen sowie für G2 lassen sich diese tropischen Gruppen als tropische Matrixgruppen realisieren, die ihre klassischen algebraischen Versionen widerspiegeln. In diesem Rahmen führen wir tropische Hauptfaserbündel auf metrischen Graphen ein und untersuchen deren explizite Darstellungen als Pushforwards von Geradenbündeln entlang Überlagerungen mit Symmetrien und zusätzlicher Struktur. Wir klassifizieren tropische Hauptfaserbündel auf metrischen Graphen vom Geschlecht null in Analogie zu klassischen Resultaten von Grothendieck und Harder und beschreiben – entsprechend den klassischen Resultaten von Frătilă – die tropischen Modulräume stabiler und semistabiler Bündel auf einer tropischen elliptischen Kurve. Das Hauptresultat identifiziert schließlich das essentielle Skelett des Modulraums semistabiler Bündel auf einer Tate-Kurve mit seinem tropischen Gegenstück.
Abstract
  • This dissertation establishes new connections between tropical linear spaces, Bruhat–Tits buildings, and valuated matroids. Secondly, it investigates these structures from the perspective of real tropical geometry. In addition, it develops a tropical analogue of reductive groups, along with a theory of tropical principal bundles on tropical curves, i.e., on metric graphs. The first part formulates a tropical interpretation of the Bruhat–Tits building of the projective general linear group PGLr+1(K). We prove that this building is the inverse limit of all tropicalized linear spaces, obtaining a linear version of Payne's limit theorem, and we prove a faithful tropicalization result for compactified linear spaces. We further extend the construction of tropical linear spaces to valuated matroids on infinite ground sets and show that the tropical linear space of the universal realizable matroid coincides with the building itself, extending a result of Dress and Terhalle. The second part introduces the signed Goldman–Iwahori space for real closed valued fields, a signed analogue of the building studied in the first part. Using methods from real tropical geometry, we show that this space arises as the inverse limit of all real tropicalized linear embeddings and identify it with the real tropical linear space of the universal realizable oriented matroid. While many constructions from the first part extend naturally, the signed case exhibits new phenomena, including non-diagonalizable signed seminorms. In the constant coefficient case, for K = R, we describe this space explicitly and relate it to real Bergman fans. The final part introduces an elementary tropical analogue of a reductive group that combines the datum of a Weyl group and the tropicalization of a fixed maximal torus. For the classical groups, as well as G2, these tropical reductive groups admit concrete realizations as tropical matrix groups that resemble their classical algebraic counterparts. Employing this perspective, we introduce tropical principal bundles on metric graphs and study their explicit presentations as pushforwards of line bundles along covers with symmetries and extra data. We classify tropical principal bundles on metric graphs of genus zero in analogy with the classical result of Grothendieck and Harder, and, in parallel with the classical results of Frătilă, we describe the tropical moduli spaces of stable and semistable bundles on a tropical elliptic curve. Our main result identifies the essential skeleton of the moduli space of semistable principal bundles on a Tate curve with its tropical analogue.
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