English

Motivated by representation-theoretic Howe duality, we seek an analogous symplectic construction in the sense that its geometric quantization decomposes with Howe duality.

We find that a symplecticly correct setting is given by two Lie groups acting on a symplectic manifold $M$ when these two actions commute and satisfy the symplectic Howe condition, i.e. these actions are Hamiltonian and their collective functions are their mutual centralizers in the Poisson algebra of smooth functions on $M$. Once this condition is satisfied, we obtain a natural bijection between the coadjoint orbits in one moment image and those in the other moment image -- this we call coadjoint orbit correspondence.

We study the orbit correspondence further and show, if the acting Lie groups are compact and $M$ is prequantizable, that it preserves integrality of the coadjoint orbits, so to both orbits in the correspondence an irreducible representation can be associated. We thus have a bijection between parts of the unitary duals of both Lie groups acting on $M$. Applying known results about the interchangeability of quantization and reduction, we see that for $M$ a Kähler manifold, its quantization (as a representation of the product of both groups acting on $M$) decomposes into a multiplicity-free direct sum of tensor products of irreducibles of the individual groups, the pairs being given by the bijection obtained before -- as one would expect according to Howe duality.

Deutsch

Motiviert durch die darstellungstheoretische Howe-Dualität, suchen wir eine analoge symplektische Konstruktion in dem Sinne, dass die geometrische Quantisierung eine Zerlegung mit Howe-Dualität besitzen soll.

Wir stellen fest, dass eine symplektisch korrekte Situation gegeben ist durch zwei Lie-Gruppen, die auf derselben symplektischen Mannigfaltigkeit $M$ Hamiltonsch wirken, wenn diese Wirkungen kommutieren und die symplektische Howe-Bedingung erfüllen, d.h. die kollektiven Funktionen beider Wirkungen sind gegenseitig ihre Zentralisatoren in der Poisson-Algebra der glatten Funktionen auf $M$. Dann können wir zeigen, dass eine Bijektion zwischen den koadjungierten Bahnen im Bild der ersten Impulsabbildung und denen im Bild der zweiten Impulsabbildung existiert -- diese bezeichnen wir als Korrespondenz koadjungierter Bahnen.

Weiter zeigen wir, dass für Wirkungen kompakter Lie-Gruppen und präquantisierbares $M$ die Integralität der koadjungierten Bahnen erhalten bleibt, und daher beiden Bahnen gleichzeitig irreduzible Darstellungen zugeordnet werden können. Wendet man hierauf Resultate über die Vertauschbarkeit von Quantisierung und Reduktion an, dann sieht man, dass für $M$ Kähler die Quantisierung (als Darstellung des Produktes beider auf $M$ wirkender Gruppen) in eine multiplizitätenfreie direkte Summe von Tensorprodukten der irreduziblen Darstellungen beider Gruppen zerfällt, wobei die Paare durch obige Bijektion gegeben sind -- ganz im Sinne der Howe-Dualität.