In der vorliegenden Arbeit behandeln wir eine Fragestellung über lokale Funktionkörpererweiterungen nach dem asymptotischen Wachstum der Anzahl von Galoiserweiterungen mit fest vorgegebener nicht-abelscher Galoisgruppe und beschränkter Diskriminante. Von Hauptinteresse ist dabei der Fall, dass die Charakteristik p des Körpers die Gruppenordnung teilt. In dem Falle gibt es bereits unendlich viele zyklische Erweiterungen mit Ordnung p und wir erhalten ein gänzlich anderes Verhalten als bei lokalen Zahlkörpern.Thorsten Lagemann löste die Fragestellung für abelsche Gruppen in seiner Dissertation. Im nicht-abelschen Fall können wir in der vorliegenden Arbeit erste Resultate erzielen. Zum einen lösen wir das Problem für eine Klasse von semi-direkten Produkten einer p-elementarabelschen Gruppe mit einer zyklischen Gruppe, deren Ordnung koprim zu p ist. Dabei sind wir besonders an Untergruppen der affinen Gruppe AGL1(p) interessiert. Wir lösen außerdem das Diskriminanten-Zählproblem für spezielle transitive p-Gruppen,die körpertheoretisch als Galoisgruppe des Zerfällungskörpers eines Turms zweier zyklischer Grad-p-Erweiterungen auftreten. Dabei geben wir eine Beschreibung aller dieser Erweiterungen an und lösen das zugehörige Zählproblem über p*p Punkten. Wir beweisen zudem eine explizite Formel für die Anzahl aller Körpererweiterungen mit fest vorgegebener abelscher Galoisgruppe A, deren Führerexponent kleiner gleich einer vorgegebenen Schranke X ist.

In this thesis at hand, we will study a question concerning the discriminant density of local function field extensions with a fixed non-abelian Galois group. The main interest is the case of the characteristic p dividing the group order.In this case, there are already infinitely many cyclic extensions of degree p, which stands in stark contrast to p-adic fields. Lagemann solved in his Ph.D. Thesis the case of abelian groups. For non-abelian groups we prove some first results. We prove the asymptotical behaviour for an infinite class of semi-direct products of a p-elementary abelian group and a cyclic group whose order is coprime to p.This class of groups includes subgroups of the affine group AGL1(p). We moreover solve the discriminant counting problem for transitive subgroups of the wreath product of a cyclic group of order p with a cyclic group of order p. These extensions corresp to the Galois closure of a tower of two relative cyclic extension of degree p.We describe all these extensions over a fixed ground field and fixed transitive subgroup and solve the corresponding discriminant counting problem over p squared points. Moreover, we give an explicit formula for the number of field extensions with Galois group isomorphic to an abelian group A and with conductor exponent bounded by X.