In dieser Arbeit geht es um ein bestimmtes Problem der Kantenperkolation des Produktgraphen G x Z. Wobei G ein endlicher zusammenhängender Graph ist (häufig in der Arbeit ist G der Kreisgraph C k) und Z ist der Graph mit den Knoten Z und den Kanten, die die Knoten mit dem Abstand 1 verbinden. Kantenperkolation bedeutet, dass eine Kante mit Wahrscheinlichkeit p vorhanden ist, unabhängig von den anderen Kanten. Es wird vorausgesetzt, dass 0 ein Knoten von G ist. Die Fragestellung, die diese Arbeit motiviert, ist die Frage, ob für alle natürlichen Zahlen m, n mit m < n und alle Knoten a von G (und alle p (0, 1)) es wahrscheinlicher ist, dass (0, 0) mit (a,m) verbunden ist als (0, 0) mit (a, n). Die Frage wird hier positiv beantwortet, wenn m, n groß genug sind und man noch eine zusätzliche Eigenschaft an G stellt. Hier wird sogar die Monotonie des Auftretens sogenannter Muster untersucht. Ein Muster auf einer Ebene gibt an, welche Knoten mit dem Knoten (0, 0) verbunden sind und welche Knoten miteinander auf einer Ebene verbunden sind. (die n-te Ebene des Graphen G x Z ist die Menge der Knoten der Form (x, n)). Es wird gezeigt, dass ab einer bestimmten Höhe die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines vorgegebenen Musters (welches mindestens einen Knoten hat, der mit dem Knoten (0, 0) verbunden ist) auf einer Ebene monoton abnimmt. Auch wird auf Zusammenhänge zu bekannten und noch nicht komplett gelösten Problemen (Bunkbed-Graph Vermutung, Monotonie der Verbindungsfunktion bei Z^2) eingegangen.

This work is about a specific problem of the bond percolation on the product graph G x Z. Here G is a finite and connected graph (here G is often the cycle graph C k) and Z is the graph with die vertices Z and the edges which connect the endpoints with a distance of 1. Bond percolation means, that an edge exists with probability p (0, 1) independent of the other edges. It is assumed, that 0 is a vertex of G. The question that motivates this work is the question, if for all natural numbers n,m with m < n and all vertices a of G (and all p (0, 1)), it is more likely, that (0, 0) is connected with (a,m) than (0, 0) is connected with (a, n). The question is answered positively here, if m, n are big enough and if G has an additional property. More precisely it will be here even studied the monotonicity of occurrences of patterns. A pattern on a level n means, which vertices are connected to the vertex (0, 0) and which vertices are connected with each other. (the level n is the set of the vertices of the form (x, n)) . It will be shown, that a bound exists, so after that the likelihood that a particular special pattern will occur is monotonically decreasing. Also, relations will be shown with other well known and only partially solved problems (bunkbed-graph conjecture,monotonicity of the connection function of the graph Z^2).