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Abstract

Wir untersuchen einen maßwertigen Prozess mit (1 + beta)-Verzweigung, der mit den selbstadjungierten Erweiterungen des Laplace-Operators über eine nichtlineare partielle Differentialgleichung in Beziehung steht. Der Prozess kann als super-Brownsche Bewegung mit Punktquelle im Ursprung aufgefasst werden. Seine Existenz wurde von Fleischmann und Mueller 2004 bewiesen. Wir zeigen, dass dieser Superprozess mit einer Familie von Prozessen approximiert werden kann, die über nichtlineare Gleichungen mit passend skalierten beschränkten Störungen des Laplace-Operators in Beziehung steht. Dies wird für Dimension d = 3 und 0 < beta < 1/3 durchgeführt. Die Vorgehensweise ist hauptsächlich analytisch, da wir Konvergenz der Lösungen der nichtlinearen Gleichungen in einem gewichteten Lebesgue-Raum beweisen. Es werden Normabschätzungen für die Resolventen der Operatoren und für die entsprechenden Halbgruppen entwickelt, um die Halbgruppen im gewichteten Raum kontrollieren zu können. Außerdem untersuchen wir grundlegende Eigenschaften der approximierenden Prozesse, wie beispielsweise Pfadregularität.

Abstract

We study a measure-valued process with (1 + beta)-branching, which is related to the self-adjoint extensions of the Laplacian via a nonlinear partial differential equation. This can be understood as a super-Brownian motion with point source at the origin. Existence of this process was shown by Fleischmann and Mueller 2004. We show that this process can be approximated with a family of processes, which are related to nonlinear equations involving suitably scaled bounded perturbations of the Laplacian. This is done for dimension d = 3 and 0 < beta < 1/3. The strategy is mainly analytic, as we prove convergence of solutions of the nonlinear equations in a weighted Lebesgue space. Norm estimates for the resolvents of the operators and the associated semigroups are developed in order to control these semigroups in the weighted space. Furthermore, we study basic properties of the approximating processes, such as path regularity.