Viele Theorien über gewöhnliche Graphen wurden in den letzten Jahren aufsignierte Graphen erweitert. In den meisten dieser Theorien verhalten sich balancierte Teile ähnlich wie im nicht signierten Fall, während die unbalancierten Teile die Hauptursache für die Unterschiede im Vergleich zum nicht signierten Fall sind. Daher kann das Verständnis der Quelle der Unbalanciertheit eines signierten Graphen ein wichtiger Schritt sein, um ein besseres Verständnis zuerlangen. Im ersten Teil dieser Arbeit wird dies durch die Untersuchung der Kritikalität in Bezug auf den Frustrationsindex erreicht. Die kritisch k-frustrierten signierten Graphen werden charakterisiert und ihre strukturellen Eigenschaften werden untersucht. Wir definieren und charakterisieren eine spezielle Familie von kritisch k-frustrierten signierten Graphen, bei denen jedes Paar negativer Knoten gemeinsame Kanten hat. Außerdem beweisen wir, dass die Anzahl der nicht zerlegbaren und irreduziblen kritisch k-frustrierten signierten Graphen für k 3 endlich ist. Im zweiten Teil verallgemeinern wir alte Ansätze der Knotenfärbung signierter Graphen, wobei der starke Einfluss des unbalancierten Teils auf die Färbung deutlich wird. Weiterhin geben wir ein Ergebnis an, das den Frustrationsindex und unsere Definition der chromatischen Zahl in Beziehung setzt.

Many theories on ordinary graphs have been extended to signed graphs in the last years. In most of them, balanced parts behave similarly to the unsigned case, while the unbalanced parts are the main source of the differences with respect to the unsigned case. Therefore, understanding the source of unbalance of a signed graph may be a key step to get a better understanding. In the first part of this work, this is done by studying criticality with respect to the frustration index. The critically k-frustrated signed graphs are characterized and their structural properties are studied. We define and characterize a special family of critically k-frustrated signed graphs where each pair of negative circuits share edges. Moreover, we prove that the number of non-decomposable and irreducible critically k-frustrated signed graphs, for k 3, is finite. In the second part, we generalize old approaches of vertex-coloring of signed graphs, where the strong influence of the unbalance parts on the coloring can be seen, and we give a result relating frustration index and our definition of chromatic number.