English

Non-smooth dynamical systems appear in many applications, especially in those with contact/non-contact switching or systems with impacts. Non-smooth behaviour may be essential for the function or not desired. In both cases it is important to gain profound knowledge about the dynamical behaviour. The new and promising set-oriented numerical methods, which are similar to cell-to-cell mapping methods, provide a global determination of the stationary system behaviour, in which they are completed by “classical” methods such as Poincaré maps, bifurcation analysis and stability methods.

Deutsch

Die vorliegende Dissertationsarbeit beschäftigt sich mit der Analyse nichtglatter dynamischer Systeme, einer Spezialform der nichtlinearen Systeme. Nichtglatte Dynamik ist in vielen Anwendungsbereichen vorzufinden, in denen z.B. Kontaktwechsel stattfinden oder Stöße auftreten und kann abhängig von der Anwendung unerwünscht oder wesentlicher Bestandteil der Funktionsweise sein. In beiden Fällen ist für die Auslegung, Regelung, Optimierung oder Sicherstellung der Funktionsweise ein tiefgehendes Verständnis des dynamischen Verhaltens notwendig. Für die Untersuchung nichtglatter Eigenschaften gibt es bislang noch keine etablierten Techniken. Die neuartigen, mengenorientierten Methoden, die in ihrem Grundgedanken den Zellabbildungsmethoden ähneln, ermöglichen eine globale und tiefgehende Bestimmung des stationären Systemverhaltens, in der sie durch „klassische Verfahren“ wie Poincaré-Schnitte, Verzweigungsanalysen und Stabilitätsbetrachtungen ergänzt werden. Der Einsatz der mengenorientierten Methoden zur Analyse eines piezoelektrisch betriebenen Ultraschallstoßbohrers als Beispiel eines nichtglatten Systems, über dessen Funktionsprinzip es in der Literatur kaum Aussagen gibt, wird in dieser Dissertationsarbeit untersucht. Laborversuche des Bohrsystems und seiner Unterkomponenten weisen ein komplexes, irreguläres Verhalten auf. Die Modellierungen der Bewegung einer Stoßmasse, die die wesentliche Komponente aus dem Systeminneren darstellt, und der Stoßdynamik des Bohrsystems erfolgen durch zeitdiskrete Bewegungsgleichungen. Mit den mengenorientierten Methoden wird die Koexistenz von periodischen und chaotischen Attraktoren gezeigt und statistische Aussagen über das Verhalten in Form von Aufenthaltswahrscheinlichkeitsverteilungen gefunden.