Deutsch

Wir konstruieren einheitlich die minimale Darstellung einer endlichen Überlagerung G der konformen Gruppe einer (nicht notwendigerweise euklidischen) Jordanalgebra V. Diese Darstellung lässt sich auf dem L^2-Raum der minimalen Bahn O der Strukturgruppe L von V realisieren. Wir konstruieren den zugehörigen (g,k)-Modul und zeigen, dass er sich zu einer unitären irreduziblen Darstellung von G auf L^2(O) integrieren lässt.

Insbesondere liefert dies eine einheitliche Sichtweise auf die beiden bekanntesten minimalen Darstellungen: Die Segal-Shale-Weil Darstellung der metaplektischen Gruppe Mp(n,R) und die minimale Darstellung von O(p,q), die kürzlich von T. Kobayashi, G. Mano und B. Ørsted studiert wurde.

Im zweiten Teil untersuchen wir spezielle Funktionen, die explizite k-endliche Vektoren in der Darstellung liefern. Verschiedene Eigenschaften dieser speziellen Funktionen wie Differentialgleichungen, Rekursions- und Integralformeln werden bewiesen und in Bezug zur Darstellungstheorie gesetzt.

Zuletzt definieren wir den konformen Inversionsoperator F_O durch die Wirkung des längsten Weylgruppenelements. F_O ist ein unitärer Operator der Ordnung 2 auf L^2(O). Wir zeigen, dass die Wirkung von F_O auf radialen Funktionen durch eine spezielle Form von Meijer's F-Transformation gegeben ist.

English

We give a unified construction of the minimal representation of a finite cover G of the conformal group of a (non necessarily euclidean) Jordan algebra V. This representation is realized on the L^2-space of the minimal orbit O of the structure group L of V. We construct its corresponding (g,k)-module and show that it can be integrated to a unitary irreducible representation of G on L^2(O).

In particular, we obtain a unified approach to the two most prominent minimal representations, namely the Segal-Shale-Weil representation of the metaplectic group Mp(n,R) and the minimal representation of O(p,q) which was recently studied by T. Kobayashi, G. Mano and B. Ørsted.

In the second part we investigate special functions which give rise to k-finite vectors in the representation. Various properties of these special functions such as differential equations, recurrence relations and integral formulas connect to the representation theory involved.

Finally, we define the conformal inversion operator F_O by the action of the longest Weyl group element. F_O is a unitary operator on L^2(O) of order 2. We show that the action of F_O on radial functions is given by a special case of Meijer's G-transform.