Gegenstand dieser Arbeit ist die Entwicklung allgemeiner Techniken und Konzepte, die eine mathematisch fundierte Symmetriereduktion von (Quanten-)Eichfeldtheorien ermöglichen. Das Hauptaugenmerk liegt hierbei auf dem Gebiet der Schleifenquantengravitation, im Speziellen auf der Reduktion des Quantenkonfigurationsraumes und der Konstruktion normierter Radonmaße auf den reduzierten Räumen. Zunächst wird diskutiert, unter welchen Voraussetzungen eine Gruppenwirkung w: G x X -> X eindeutig zu einer Gruppenwirkung auf dem Spektrum einer C*-Algebra beschränkter Funktionen auf X fortsetzbar ist. Dies wir auf zweierlei Weisen auf das Gebiet der Schleifenquantengravitation (X besteht aus glatten Zusammenhänge auf einem Hauptfaserbündel) angewandt. Zum einen benutzen wir die geliftete Wirkung, um die Konfigurationsräume direkt auf Quantenniveau zu reduzieren (QR-Reduktion). Zum anderen werden derartige Wirkungen benutzt, um Maße auf symmetriereduzierten Quantenkonfigurationsräumen der Schleifenquantenkosmologie vermöge ihrer Invarianzeigenschaften auszuzeichnen. Im Rahmen der ersten Fragestellung untersuchen wir zudem, ob Quantisierung und Reduktion kommutieren oder nicht. Hierbei stellt sich heraus, dass der quantisierte symmetriereduzierte Raum der invarianten Zusammenhänge (RQ-Reduktion) stets im quantenreduzierten Raum enthalten (im Allgemeinen sogar echt enthalten) ist. Im zweiten Teil dieser Arbeit werden normierte Radonmaße auf den symmetriereduzierten Räumen konstruiert. Diese definieren kinematische Hilberträume, auf denen die Dynamik der reduzierten Theorie realisiert werden kann. Im letzten Teil verallgemeinern wir schließlich das klassische Charackterisierungstheorem von Wang für invariante Zusammenhänge auf Hauptfaserbündeln (reduzierte klassische Konfigurationsräume).

The intention of this dissertation is to provide general tools and concepts that allow to perform a mathematicallysubstantiated symmetry reduction in (quantum) gauge field theories. Here, the main focus is on the framework of loop quantum gravity (LQG), where we concentrate on the reduction of the quantum configuration space and the construction of normalized Radon measures on the resulting reduced spaces. First, we investigate under which assumptions an action w: G x X -> X is extendible to an action on the spectrum of a C*-algebra of bounded functions on X. Then, we apply this to the framework of LQG where X consists of smooth connections on the underlying principal fibre bundle P. On the one hand, we use this concept to perform a symmetry reduction on quantum level (QR-reduction). On the other hand, we use it to single out measures on symmmetry reduced cosmological configuration spaces by means of their invariance properties. In course of the first issue, we also investigate the question whether quantization and reduction commute or not. Indeed, we show that the quantum-reduced configuration space always (usually even properly) contains the quantized reduced classical space of invariant connections on P (RQ-reduction). In the second part of this work, we construct normalized Radon measures on the symmetry reduced spaces. These define kinematical Hilbert spaces on which the dynamics of the reduced theory can be established in future work. Finally, in the last part, we prove a characterization theorem for invariant connections (reduced classical configuration space) on principal fibre bundles which generalizes the classical results of Wang and Harnad, Shnider and Vinet.