Deutsch

Es gibt eine interessante Beziehung zwischen zwei Familien von Distributionen, welche zu Eigenfunktionen \phi_{\lambda_k} des Laplace-Operators einer kompakten hyperbolischen Mannigfaltigkeit Y assoziiert werden:

Gegeben eine Pseudodifferentialoperatoren-Quantisierung, d. h. eine Vorschrift Op:C^{\infty}(S^Y)\rightarrow B(L2 (Y)), die Symbolen a der Ordnung 0 auf dem Kosphärenbündel L2-beschränkte Operatoren auf Y zuweist, so erhält man aus den Funktionalen \rho_{\lambda_j,\lambda_k}(A)=\langle A\phi_{\lambda_j},\phi_{\lambda_k}\rangle_L2 auf den Raum der Pseudodifferentialoperatoren nullter Ordnung die Wigner-Distributionen W_{\lambda_j,\lambda_k}(a)=\rho_{\lambda_j,\lambda_k}(Op(a)) auf dem Kosphärenb\"undel S^Y. Diese sind die Schlüsselobjekte der Quanten-Ergodizität: Man studiert die Schwingungs- und Konzentrationseigenschaften der Eigenfunktionen, indem man das Hochfrequenzverhalten der Distributionen W_{\lambda_j,\lambda_k} untersucht, d.h. wenn die Eigenwerte gegen unendlich streben.

Falls Y ein symmetrischer Raum nichtkompakten Typs ist, so wird der Laplace-Operator durch die gesamte Algebra der invarianten Differentialoperatoren ersetzt. Gegeben moderate Eigenfunktionen \phi und \psi auf Y, so liefern ihre Helgason-Randwerte sogenannte Patterson-Sullivan Distributionen PS_{\phi,\psi} auf S^*Y.

Im Falle kompakter hyperbolischer Flächen Y=\Gamma\backslash\mathbbH beobachteten N. Anantharaman und S. Zelditch eine exakte und eine asymptotische Beziehung zwischen diesen Distributionen.

Wir verallgemeinern Teile eines speziellen nicht-euklidischen Kalküls von Pseudodifferentialoperatoren, welcher zuerst von S. Zelditch für hyperbolische Flächen eingeführt wurde, auf symmetrische Räume X=G/K nichtkompakten Typs und ihre kompakten Quotienten Y=\Gamma\backslash G/K. Wir werden uns bei einigen Resultaten auf den Fall von Räumen vom Rang eins beschränken. Das nicht-euklidische Setting erweitert die Definitionen der Patterson-Sullivan Distributionen auf natürliche Weise auf symmetrische Räume nichtkompakten Typs. Wir verallgemeinern die exakte Beziehung zwischen diesen und den Wigner-Distributionen und studieren die wichtigen Eigenschaften der Patterson-Sullivan Distributionen. Schließlich beschreiben wir asymptotische Verbindungen zwischen verschiedenen Arten von Distributionen.

English

There is a curious relation between two kinds of phase space distributions associated to Laplace-eigenfunctions \phi_{\lambda_k} on a compact hyperbolic manifold Y.

Given a pseudodifferential operator quantization Op: C^{\infty}(S^Y)\rightarrow B(L2(Y)), that is an assignment of bounded operators to smooth zero order symbols a on the unit (co-)tangent bundle S^Y, the functionals \rho_{\lambda_j,\lambda_k}(A)=\langle A\phi_{\lambda_j},\phi_{\lambda_k}\rangle_{L2(Y)} on the space of zero-order pseudodifferential operators give rise to Wigner distributions W_{\lambda_j,\lambda_k}(a)=\rho_{\lambda_j,\lambda_k}(Op(a)) on S^*Y, which are the key objects in quantum ergodicity. One studies the oscillation and concentration properties of the eigenfunctions through the so-called large energy limits of the distributions W_{\lambda_j,\lambda_k}, that is one investigates their behaviour when the eigenvalues tend to infinity.

If Y is a symmetric space of the noncompact type, the Laplace operator is replaced by the corresponding algebra of translation invariant differential operators. Given moderate eigenfunctions \phi and \psi, their distributional boudary values in the sense of Helgason give rise to the Patterson-Sullivan distribution PS_{\phi,\psi} on S^*Y.

In the case of compact hyperbolic surfaces Y=\Gamma\backslash\mathbbH it was observed by N. Anantharaman an S. Zelditch that there is an exact and an asymptotic relation between these phase space distributions.

We generalize parts of a special non-Euclidean calculus of pseudodifferential operators, which was invented by S. Zelditch for hyperbolic surfaces, to symmetric spaces X=G/K of the noncompact type and their compact quotients Y=\Gamma\backslash G/K. We sometimes restrict our results to the case of rank one symmetric spcaes. The non-Euclidean setting extends the defintion of Patterson-Sullivan distributions in a natural way to arbitrary symmetric spaces of the noncompact type. Generalizing the exact formula given by Zelditch and Anantharaman, we find an explicit intertwining operator mapping Patterson-Sullivan distributions into Wigner distributions. We study the important invariance and equivariance properties of these distributions. Finally, we describe asymptotic properties of these distributions.