Foliated rho-invariants

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Zusammenfassung

Wir führen in dieser Dissertation die foliated rho-Invarianten auf measured Blätterungen ein und beweiseneinige Stabilitätseigenschaften. Wir beweisen insbesondere, dass die “foliated rho-Invariante” metrisch unabhängig und invariant unter Diffeomorphismen ist. Dies ist eine Erweiterung eines klassischen Resultats von Cheeger und Gromov. Wir erreichen so eine Verallgemeinerung des Gamma-Index Theorems von Atiyah für Foliations, die Experten bekannt, aber nicht in der Literatur zu finden war. Wir erweitern den Hilbert-Poincaré (HP) Komplex Formalismus für den Fall von Blätterungen und konstruieren eine explizite Homotopieäquivalenz von HP-Komplexen auf leafwise Homotopie äquivalenten Blätterungen. Das liefert einendirekten Beweis des bereits bekannten Resultats über die Homotopieinvarianz der Signaturindexklasse für Blätterungen. Wir geben zuletzt eine Anwendung dieses Formalismus, um den Beweis der Homotopieinvarianzder klassischen Cheeger-Gromov rho-Invarianten teilweise auf den foliated Fall zu erweitern.

Abstract

In this thesis we have introduced foliated rho-invariants on measured foliations and proved some of their stability properties. In particular, we have proved that the foliated rho-invariant associated with the leafwise signature operator on the foliation is independent of the leafwise metric on the foliation and is a leafwise diffeomorphism invariant, extending the classical result of Cheeger and Gromov for rho-invariants on coverings. In this work we have also obtained a generalization of Atiyahs Gamma-index theorem for foliations, which was known among experts but a proof has not appeared in the literature, as far as we know. We have also given an extension of the formalism of Hilbert-Poincaré (HP) complexes to the case of foliations and constructed an explicit homotopy equivalence of HP-complexes on leafwise homotopy equivalent foliations. This gives a direct proof of an already known result of the homotopy invariance of the signature index class for foliations. Finally, we have given an application of this formalism for partially extending the proof of the homotopy invariance of the classical Cheeger-Gromov rho-invariant to the foliated case.

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